実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．すなわち，$[\,x\,]$は整数であり$[\,x\,] \leqq x < [\,x\,]+1$を満たすとする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{5}{3} \right]=1$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)すべての実数$a$とすべての整数$m$に対し，$[\,a+m\,]=[\,a\,]+m$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_k\}$を$\displaystyle a_k=\left[ \frac{2k}{3} \right] \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$と定める．自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k$を求めよ．

$\angle$AOBが直角，$\text{OA}:\text{OB}=2:1$である三角形OABがある．$s$は$0<s<1$とし，辺ABを$s:(1-s)$に内分する点をPとし，OPを$s:(1-s)$に内分する点をQとする．また，線分AQの延長とOBの交点をRとする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$が直交するとき，以下の問いに答えよ．

(1)$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=t\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$とおくとき，$t$の値を求めよ．
(3)三角形OQRの面積と三角形BPQの面積の比を，最も簡単な整数の比で表せ．

表の出る確率が$p \ (0<p<1)$のコインを投げ，表が出れば5点を得，裏が出れば1点を得るものとする．コインを投げ続けるとき以下の問いに答えよ．

(1)$n$回投げたときの得点の取りうる値をすべて求めよ．また，得点がそれぞれの値となる確率を求めよ．
(2)10回コインを投げて，得点が14点以下になる確率を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=|\,x\,|-e^{-x}$の増減を調べよ．
(2)実数$\alpha$で$|\,\alpha\,|-e^{-\alpha}=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha<1$を満たすことを示せ．
(3)(2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^\alpha (xe^{-nx}+\alpha x^{n-1}) \, dx \]
とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n^2 I_n$を求めよ．

$a>0$とする．曲線$y=a^3x^2$を$C_1$とし，曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{x} (x>0)$を$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$に同時に接する直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と曲線$C_1,\ C_2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ．

$n$を自然数とする．$\sqrt{3} \sin n \theta+\cos n \theta=0$を満たす$\theta>0$を小さいものから順に$n$個取り，$\theta_1,\ \theta_2,\ \cdots,\ \theta_n$とする．

(1)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対し，$\theta_k$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n \cos \frac{\theta_n}{2}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \cos \frac{\theta_1}{2}+\cos \frac{\theta_2}{2}+\cdots +\cos \frac{\theta_n}{2} \right)$を求めよ．

1個買うごとに景品を1個もらえる商品がある．景品は全部で$n$種類あり，それぞれ1から$n$までの番号がつけてある．また，1から$n$までの数字が1つずつ記入された$n$枚のカードがある．$n$枚のカードは外から数字が見えない箱の中に入れてあり，購入した商品1個ごとに箱の中から1枚引いて数字を確認して景品と交換する．引いたカードは，そのつど箱に戻すものとする．もらえる景品の番号は，引いたカードの数字と同じ番号のものとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)この商品を$m$個購入したとき，番号1の景品が少なくとも1個もらえる確率を求めよ．ただし，$m>n$とする．
(2)この商品を$n$個購入したとき，全種類の景品がそろわない確率を求めよ．
(3)この商品を$n+1$個購入したとき，全種類の景品がもらえる確率を求めよ．

確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,\ 1)$に従うとき，
\[ P(Z>1.96)=0.025,\ P(Z>2.58)=0.005,\ \frac{2.58}{1.96} \fallingdotseq 1.32 \]
であるとして，次の各問いに答えよ．

(1)確率変数$X$のとる値$x$の範囲が$-1 \leqq x \leqq 1$で，その確率密度関数が$f(x)=k(1-x^2)$で与えられている．このとき，定数$k$の値と$X$の平均を求めよ．
(2)母平均$m$，母標準偏差10の母集団から大きさ100の無作為標本を抽出し，その標本平均を$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$とする．標本の大きさ100は十分大きい数であるとみなせるとする．

(3)標本平均$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$を用いて，母平均$m$の信頼度$95\%$の信頼区間を求めよ．
(4)母平均$m$を信頼度$99\%$の信頼区間を用いて区間推定するとき，信頼区間の幅を(a)で求めた幅より小さくするためには，標本の大きさ$n$をいくつ以上にとればよいか求めよ．

$a>0$とする．曲線$y=a^3x^2$を$C_1$とし，曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{x} (x>0)$を$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$に同時に接する直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と曲線$C_1,\ C_2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ．

$f(x)=\sqrt{x}e^{-x} (0 \leqq x \leqq 1)$とする．

(1)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．