$A=\biggl( \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 4
\end{array} \biggr)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$A^2-6A+9E=O$を示せ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\quad O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．
(2)数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$を
\begin{align}
& \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \biggr), \nonumber \\
& \biggl( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \biggr) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{align}
で定めるとき，$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n=a_nA+b_nE$となる$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

楕円$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$および双曲線$\displaystyle C_2:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0,\ b>0$とする．

(1)楕円$C_1$上の点$(x_1,\ y_1)$における接線の方程式は
\[ \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1 \]
であることを示せ．
(2)楕円$C_1$の外部の点$(p,\ q)$を通る$C_1$の2本の接線の接点をそれぞれA$_1$，A$_2$とする．直線A$_1$A$_2$の方程式は
\[ \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1 \]
であることを示せ．
(3)$(p,\ q)$が双曲線$C_2$上の点であるとき，直線$\displaystyle \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$は$C_2$に接することを示せ．

$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．また$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$とし，$A^2=-E \ $（$E$は$2$次単位行列）が成り立つとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)行列の和$A+A^2+A^3+\cdots +A^{15}+A^{16}+A^{17}$を求めよ．
(3)行列の和$A^{17}+A^{16}B+A^{15}B^2+\cdots +A^2B^{15}+AB^{16}+B^{17}$を求めよ．

$a$は定数で，$0<a<e,\ a \neq 1$とする．$2$曲線$y=a^x,\ y=e^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^2-1)$を$C$とする．$a$は定数で$a>0$とし，点A$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2}(a^2-1) \right)$における$C$の接線を$\ell$とする．また$\ell$と直線$x=a$とのなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)点Aを通る直線で，$\ell$となす角が$\theta$であるが，直線$x=a$とは異なるものの方程式を求めよ．

$p>0$は定数とし，$f(x)=x^3-px$とする．$f(x)$は$x=a$で極小値$m$を，$x=b$で極大値$M$をとるとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ m,\ M$をそれぞれ$p$を用いて表せ．
(2)直線$y=m$および$y=M$と曲線$y=f(x)$との$(a,\ m)$，$(b,\ M)$以外での交点をそれぞれ$(c,\ m)$，$(d,\ M)$とする．このとき$c,\ d$をそれぞれ$p$を用いて表せ．

$A=\biggl( \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 4
\end{array} \biggr)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$A^2-6A+9E=O$を示せ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\quad O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．
(2)数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$を
\begin{align}
& \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \biggr), \nonumber \\
& \biggl( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \biggr) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{align}
で定めるとき，$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n=a_nA+b_nE$となる$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．

$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^2-1)$を$C$とする．$a$は定数で$a>0$とし，点A$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2}(a^2-1) \right)$における$C$の接線を$\ell$とする．また$\ell$と直線$x=a$とのなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)点Aを通る直線で，$\ell$となす角が$\theta$であるが，直線$x=a$とは異なるものの方程式を求めよ．