「不等号」について
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国立 新潟大学 2012年 第4問箱の中に$1$から$9$までの異なる整数が$1$つずつ書かれたカードが$9$枚入っている．「箱からカードを$1$枚引き，カードに書かれた整数を記録して箱の中に戻す」という操作を$3$回繰り返す．記録された$3$つの整数の最小値を$m$，最大値を$M$とする．次の問いに答えよ．
(1)$m=M$となる確率を求めよ．
(2)$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．
(3)$m \leqq 5 \leqq M$となる確率を求めよ．
(1)$m=M$となる確率を求めよ．
(2)$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．
(3)$m \leqq 5 \leqq M$となる確率を求めよ．
国立 新潟大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$k,\ n$は不等式$k \leqq n$を満たす自然数とする．このとき，
\[ 2^{k-1}n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1) \leqq n^k k! \]
が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，$\displaystyle \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n<3$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{9}{19} < \log_{10}3 < \frac{1}{2}$が成り立つことを示せ．
(1)$k,\ n$は不等式$k \leqq n$を満たす自然数とする．このとき，
\[ 2^{k-1}n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1) \leqq n^k k! \]
が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，$\displaystyle \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n<3$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{9}{19} < \log_{10}3 < \frac{1}{2}$が成り立つことを示せ．
国立 新潟大学 2012年 第4問箱の中に$1$から$9$までの異なる整数が$1$つずつ書かれたカードが$9$枚入っている．「箱からカードを$1$枚引き，カードに書かれた整数を記録して箱の中に戻す」という操作を$3$回繰り返す．記録された$3$つの整数の最小値を$m$，最大値を$M$とする．次の問いに答えよ．
(1)$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．
(2)$m \leqq 5 \leqq M$となる確率を求めよ．
(3)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ 9$に対して，$m \leqq k \leqq M$となる確率を$p(k)$とする．$p(k)$の最大値，最小値を求めよ．
(1)$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．
(2)$m \leqq 5 \leqq M$となる確率を求めよ．
(3)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ 9$に対して，$m \leqq k \leqq M$となる確率を$p(k)$とする．$p(k)$の最大値，最小値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2012年 第2問$x$の関数$f(x)=8^x+8^{-x}-9(4^x+4^{-x})+27(2^x+2^{-x})-26$について，次の各問いに答えよ．
(1)$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$を求めよ．
(2)$t=2^x+2^{-x}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，関数$y=g(t)$の増減を調べよ．
(4)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の最小値とその最小値を与える$x$の値を求めよ．
(1)$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$を求めよ．
(2)$t=2^x+2^{-x}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，関数$y=g(t)$の増減を調べよ．
(4)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の最小値とその最小値を与える$x$の値を求めよ．
国立 新潟大学 2012年 第5問次の問いに答えよ．
(1)実数$x \geqq 0$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ x-\frac{1}{2}x^2 \leqq \log (1+x) \leqq x \]
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=n^2 \int_0^{\frac{1}{n}} \log (1+x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\sum_{k=1}^n \log \left( 1+\frac{k}{n^2} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(1)実数$x \geqq 0$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ x-\frac{1}{2}x^2 \leqq \log (1+x) \leqq x \]
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=n^2 \int_0^{\frac{1}{n}} \log (1+x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\sum_{k=1}^n \log \left( 1+\frac{k}{n^2} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
国立 鳥取大学 2012年 第2問関数$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$について次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$のグラフ上の点$\mathrm{A}(2,\ 1)$，$\mathrm{B}(4,\ 3)$における接線の方程式をそれぞれ求めよ．
(3)$(2)$で求めた$2$本の接線と曲線$y=f(x) (2 \leqq x \leqq 4)$で囲まれた領域の面積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$のグラフ上の点$\mathrm{A}(2,\ 1)$，$\mathrm{B}(4,\ 3)$における接線の方程式をそれぞれ求めよ．
(3)$(2)$で求めた$2$本の接線と曲線$y=f(x) (2 \leqq x \leqq 4)$で囲まれた領域の面積を求めよ．
国立 秋田大学 2012年 第2問$a$を実数とする．$\theta$が
\[ \frac{1}{\sin \theta}-\frac{1}{\cos \theta}=a \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．ただし，$0^\circ<\theta<45^\circ$とする．
(1)$\cos \theta-\sin \theta$を$a$で表せ．
(2)$\displaystyle a=\frac{4}{3}$のとき，$\theta$と$25^\circ$の大小を比べよ．
\[ \frac{1}{\sin \theta}-\frac{1}{\cos \theta}=a \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．ただし，$0^\circ<\theta<45^\circ$とする．
(1)$\cos \theta-\sin \theta$を$a$で表せ．
(2)$\displaystyle a=\frac{4}{3}$のとき，$\theta$と$25^\circ$の大小を比べよ．
国立 秋田大学 2012年 第1問$a$は$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$を満たす実数とし，$f(x)=x^2-2ax$とおく．次の問いに答えよ．
(1)2次関数$y=f(x)$のグラフの頂点を求めよ．
(2)2次不等式$f(x) \geqq x$を解け．
(3)$x$が$f(x) \geqq x$を満たす範囲を動くとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
(1)2次関数$y=f(x)$のグラフの頂点を求めよ．
(2)2次不等式$f(x) \geqq x$を解け．
(3)$x$が$f(x) \geqq x$を満たす範囲を動くとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
国立 秋田大学 2012年 第1問$a$は$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$を満たす実数とし，$f(x)=x^2-2ax$とおく．次の問いに答えよ．
(1)2次関数$y=f(x)$のグラフの頂点を求めよ．
(2)2次不等式$f(x) \geqq x$を解け．
(3)$x$が$f(x) \geqq x$を満たす範囲を動くとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
(1)2次関数$y=f(x)$のグラフの頂点を求めよ．
(2)2次不等式$f(x) \geqq x$を解け．
(3)$x$が$f(x) \geqq x$を満たす範囲を動くとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
国立 香川大学 2012年 第3問放物線$C:y=x(x-a)$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．
(1)直線$\ell:y=ax$と，$C$との交点で，原点とは異なる点の座標を求めよ．
(2)$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(4)点$(a,\ 0)$を通り，図形$D$の面積を2等分する直線の方程式を求めよ．
(1)直線$\ell:y=ax$と，$C$との交点で，原点とは異なる点の座標を求めよ．
(2)$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(4)点$(a,\ 0)$を通り，図形$D$の面積を2等分する直線の方程式を求めよ．