「不等号」について
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（288ページ目：全4604問中2871問～2880問を表示）
国立 富山大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
国立 富山大学 2012年 第2問$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．
(1)3以上の素数$p$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{p}{k} \right)+f \left( \frac{p}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
(1)3以上の素数$p$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{p}{k} \right)+f \left( \frac{p}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第1問$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ$1$つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-6y-16 \leqq 0 \\
y+3x-8 \geqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$y-2x$の最大値と最小値を求めよ．
(1)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-6y-16 \leqq 0 \\
y+3x-8 \geqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$y-2x$の最大値と最小値を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-6y-16 \leqq 0 \\
y+3x-8 \geqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$y-2x$の最大値と最小値を求めよ．
(1)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-6y-16 \leqq 0 \\
y+3x-8 \geqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$y-2x$の最大値と最小値を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^x \geqq 1+x \]
(2)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^x \geqq 1+x \]
(2)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
国立 富山大学 2012年 第3問行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & x \\
y & z
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & w \\
w & 0
\end{array} \biggr)$は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．
\mon[(ア)] $A^2+A+E=O$
\mon[(イ)] $B^2=E$
ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．
(1)$x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき，$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ．
(2)(1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して，ベクトル$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c}
p_0 \\
q_0
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$，裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$とする．
\end{itemize}
このとき，$\biggl( \begin{array}{c}
p_3 \\
q_3
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$となる確率を求めよ．
0 & x \\
y & z
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & w \\
w & 0
\end{array} \biggr)$は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．
\mon[(ア)] $A^2+A+E=O$
\mon[(イ)] $B^2=E$
ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．
(1)$x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき，$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ．
(2)(1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して，ベクトル$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c}
p_0 \\
q_0
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$，裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$とする．
\end{itemize}
このとき，$\biggl( \begin{array}{c}
p_3 \\
q_3
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$となる確率を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第3問行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & x \\
y & z
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & w \\
w & 0
\end{array} \biggr)$は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．
\mon[(ア)] $A^2+A+E=O$
\mon[(イ)] $B^2=E$
ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．
(1)$x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき，$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ．
(2)(1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して，ベクトル$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c}
p_0 \\
q_0
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$，裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$とする．
\end{itemize}
\mon[(a)] $\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$は$\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
-1 \\
0
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array} \biggr)$のいずれかであることを示せ．
\mon[(b)] $\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$となる確率を$X_n$，$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
-1 \\
0
\end{array} \biggr)$となる確率を$Y_n$，$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array} \biggr)$となる確率を$Z_n$とするとき，$X_{n+1},\ Y_{n+1},\ Z_{n+1}$をそれぞれ$Y_n$を用いて表せ．また，$X_n$を$n$を用いて表せ．
0 & x \\
y & z
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & w \\
w & 0
\end{array} \biggr)$は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．
\mon[(ア)] $A^2+A+E=O$
\mon[(イ)] $B^2=E$
ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．
(1)$x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき，$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ．
(2)(1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して，ベクトル$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c}
p_0 \\
q_0
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$，裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$とする．
\end{itemize}
\mon[(a)] $\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$は$\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
-1 \\
0
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array} \biggr)$のいずれかであることを示せ．
\mon[(b)] $\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$となる確率を$X_n$，$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
-1 \\
0
\end{array} \biggr)$となる確率を$Y_n$，$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array} \biggr)$となる確率を$Z_n$とするとき，$X_{n+1},\ Y_{n+1},\ Z_{n+1}$をそれぞれ$Y_n$を用いて表せ．また，$X_n$を$n$を用いて表せ．
国立 九州工業大学 2012年 第1問関数$f(x)=kx^3-3kx \ (k>0)$が表す座標平面上の曲線を$C:y=f(x)$とする．曲線$C$上の2点P$(p,\ f(p))$，Q$(ap,\ f(ap))$における接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$p>0,\ a \neq 1$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点Pにおける接線$\ell_1$の方程式を$k,\ p$を用いて表せ．
(2)点Qにおける接線$\ell_2$が点Pを通るとき，$a$の値を求めよ．
(3)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，$k$を$p$を用いて表せ．また，そのような$k$が存在する$p$の値の範囲を求めよ．
(4)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，接線$\ell_2$と曲線$C$によって囲まれた図形の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(1)点Pにおける接線$\ell_1$の方程式を$k,\ p$を用いて表せ．
(2)点Qにおける接線$\ell_2$が点Pを通るとき，$a$の値を求めよ．
(3)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，$k$を$p$を用いて表せ．また，そのような$k$が存在する$p$の値の範囲を求めよ．
(4)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，接線$\ell_2$と曲線$C$によって囲まれた図形の面積$S$を$p$を用いて表せ．
国立 九州工業大学 2012年 第2問Oを原点とする座標平面上に点A$(0,\ 1)$があり，点Aからの距離が4である点P$(x,\ y)$が$x>0$，$y>1$をみたすように動く．直線APが$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$，点Pから$x$軸に垂線を下ろしたときの交点をQとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Pの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)四角形OAPQの面積$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$S$が最大となるときの$\sin \theta$の値を求めよ．
(4)四角形OAPQを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)(4)で求めた$V$が$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{4}$で最大となることを示せ．
(1)点Pの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)四角形OAPQの面積$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$S$が最大となるときの$\sin \theta$の値を求めよ．
(4)四角形OAPQを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)(4)で求めた$V$が$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{4}$で最大となることを示せ．