「不等号」について
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国立 岐阜大学 2012年 第1問四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=1,\ \mathrm{BC}=\mathrm{DA}=3$であり，対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の長さをそれぞれ$x,\ y$とする．以下の問に答えよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$x$を用いて表せ．また，$S$の最大値$S_0$を求めよ．
(2)面積が$\displaystyle \frac{1}{3}S_0$である四角形$\mathrm{ABCD}$に対して$x^2,\ y^2$の値を求めよ．ただし，$x \leqq y$とし，$S_0$は(1)で求めたものとする．
(3)$\cos \angle \mathrm{ACB}$を$x$で表せ．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大となる$x$の値を求めよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$x$を用いて表せ．また，$S$の最大値$S_0$を求めよ．
(2)面積が$\displaystyle \frac{1}{3}S_0$である四角形$\mathrm{ABCD}$に対して$x^2,\ y^2$の値を求めよ．ただし，$x \leqq y$とし，$S_0$は(1)で求めたものとする．
(3)$\cos \angle \mathrm{ACB}$を$x$で表せ．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大となる$x$の値を求めよ．
国立 岐阜大学 2012年 第1問四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=1,\ \mathrm{BC}=\mathrm{DA}=3$であり，対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の長さをそれぞれ$x,\ y$とする．以下の問に答えよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$x$を用いて表せ．また，$S$の最大値$S_0$を求めよ．
(2)面積が$\displaystyle \frac{1}{3}S_0$である四角形$\mathrm{ABCD}$に対して$x^2,\ y^2$の値を求めよ．ただし，$x \leqq y$とし，$S_0$は(1)で求めたものとする．
(3)$\cos \angle \mathrm{ACB}$を$x$で表せ．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大となる$x$の値を求めよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$x$を用いて表せ．また，$S$の最大値$S_0$を求めよ．
(2)面積が$\displaystyle \frac{1}{3}S_0$である四角形$\mathrm{ABCD}$に対して$x^2,\ y^2$の値を求めよ．ただし，$x \leqq y$とし，$S_0$は(1)で求めたものとする．
(3)$\cos \angle \mathrm{ACB}$を$x$で表せ．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大となる$x$の値を求めよ．
国立 岐阜大学 2012年 第2問$1$から$8$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$8$個の玉が，箱の中に入っている．$1$回目の操作として，箱から$3$個の玉を同時に取り出し，最大番号と最小番号の玉は箱に戻さず，残り$1$個を箱に戻す．この状態から$2$回目の操作として，さらに箱から$3$個の玉を同時に取り出す．$1$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_1$，$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_2$とする．以下の問に答えよ．
(1)$n_1 \geqq 3$となる確率を求めよ．
(2)$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．
(3)$n_1+n_2 \leqq 11$となる確率を求めよ．
(1)$n_1 \geqq 3$となる確率を求めよ．
(2)$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．
(3)$n_1+n_2 \leqq 11$となる確率を求めよ．
国立 岐阜大学 2012年 第3問鋭角三角形OABにおいて，$\text{OA} \geqq \text{OB}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．実数$t,\ s$を$0<t<1,\ 0<s<1$とする．辺OAを$t:(1-t)$の比に内分する点をP，辺OBを$s:(1-s)$の比に内分する点をQ，直線AQと直線BPとの交点をRとする．以下の問に答えよ．
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（図は省略）
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$s \geqq t$となることを示せ．このとき，$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ．
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（図は省略）
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$s \geqq t$となることを示せ．このとき，$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ．
国立 岐阜大学 2012年 第2問$1$から$8$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$8$個の玉が，箱の中に入っている．$1$回目の操作として，箱から$3$個の玉を同時に取り出し，最大番号と最小番号の玉は箱に戻さず，残り$1$個を箱に戻す．この状態から$2$回目の操作として，さらに箱から$3$個の玉を同時に取り出す．$1$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_1$，$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_2$とする．以下の問に答えよ．
(1)$n_1 \geqq 3$となる確率を求めよ．
(2)$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．
(3)$n_1+n_2 \leqq 11$となる確率を求めよ．
(1)$n_1 \geqq 3$となる確率を求めよ．
(2)$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．
(3)$n_1+n_2 \leqq 11$となる確率を求めよ．
国立 岐阜大学 2012年 第3問鋭角三角形OABにおいて，$\text{OA} \geqq \text{OB}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．実数$t,\ s$を$0<t<1,\ 0<s<1$とする．辺OAを$t:(1-t)$の比に内分する点をP，辺OBを$s:(1-s)$の比に内分する点をQ，直線AQと直線BPとの交点をRとする．以下の問に答えよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$s \geqq t$となることを示せ．このとき，$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ．
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（図は省略）
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$s \geqq t$となることを示せ．このとき，$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ．
国立 富山大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
国立 富山大学 2012年 第2問$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
国立 富山大学 2012年 第2問$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{2}{k} \right)+f \left( \frac{2}{l} \right) = \frac{\pi}{4}$を満たす自然数の組$(k,\ l)$を求めよ．ただし，$k \leqq l$とする．
(2)自然数$m,\ n$について，$\displaystyle \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{m=1}^n \sin \left\{ 2f \left( \frac{m}{n} \right) \right\}$を求めよ．