$0$以上の整数$n$に対して，$\displaystyle f_n(x)=\frac{x^ne^{-x}}{n!}$とおく．ただし，$0!=1$とし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 1$のとき，$f_n(x)$の導関数を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n f_k(x)$の導関数を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_0^1 f_n(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle e>\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$を示せ．

関数$f(x)=2\sin x \cos x - \tan x+2x$について，次の問いに答えよ．

(1)区間$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$における$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{6},\ x=\frac{\pi}{3}$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．

関数$\displaystyle y=f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}$に関して，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$と$y=x$のグラフを描け．
(2)$\displaystyle 1<x_0<\frac{3}{2}$に対して，$x_{n+1}=f(x_n) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を定義する．このとき，$x_n > x_{n+1} \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)数列$\{a_n\}$が単調減少で，ある実数$L$に対して$a_n > L \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$ならば$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$が存在する．このことを用いて，数列$\{x_n\}$の極限を求めよ．

円周上の点Aにおける円の接線上に点Aと異なる点Pをとる．点Pを通る直線が点Pから近い順に2点B，Cで円と交わっている．$\angle \text{APB}$の二等分線と線分AB，ACとの交点をそれぞれD，Eとする．$\text{PA}:\text{PB}=r:1-r$とおき，$\text{BD}=s,\ \text{CE}=t$とおく．ただし，$0<r<1$とする．

(1)線分ADの長さを$r$と$s$で表しなさい．
(2)$\text{PB}:\text{PC}=2:3$となるとき，$r$の値を求めなさい．
(3)(2)のとき，線分AEの長さを$t$で表しなさい．

次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．
\[ \int \log (1+x) \, dx \]
(2)関数$f(x)$が区間$[0,\ 1]$で連続な増加関数であって，常に$f(x) \geqq 0$であるものとする．また，$n$を自然数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ 0 \leqq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) -\int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{n} \{ f(1)-f(0) \} \]
(3)$f(x)=\log (1+x)$に対して(2)の結果を用いて，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \log \left\{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) \left( 1+\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right\} \right] \]

袋の中に$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ書かれたボールが$n$個入っている．次の問いに答えよ．ただし$n \geqq 3$とする．

(1)袋の中から$3$個のボールを同時に取り出すとき，$3$個のボールに書かれた数の和が$8$になる確率を求めよ．
(2)袋から$1$個のボールを取り出して，書かれている数字を記録し袋に戻す．これを$3$回繰り返すとき，記録された$3$つの数字のうち，ちょうど$2$つが同じ数字になる確率を求めよ．
(3)$(2)$で求めた確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以上となる$n$の範囲を求めよ．

$a,\ b,\ c$を正の整数とするとき，等式
\[ \left( 1+\frac{1}{a} \right) \left( 1+\frac{1}{b} \right) \left( 1+\frac{1}{c} \right)=2 \cdots (*) \]
について次の問いに答えよ．

(1)$c=1$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a,\ b$は存在しないことを示せ．
(2)$c=2$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a$と$b$の組で$a \geqq b$を満たすものをすべて求めよ．
(3)等式$(*)$を満たす正の整数の組$(a,\ b,\ c)$で$a \geqq b \geqq c$を満たすものをすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$\log_{x(1-x)} \{x(y-1)\} \leqq 0$の表す領域を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が上の不等式の表す領域を動くとき，$2x+y$の最小値を求めよ．

$a>0$のとき，放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C$の接線を$\ell_1$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$と垂直な直線を$\ell_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_2$と放物線$C$との交点のうち，点$\mathrm{P}$と異なる方を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a$の式で表せ．
(2)放物線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$a$の式で表せ．
(3)(2)の$S$の最小値を求めよ．またそのときの$a$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$，$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく．ただし，$a \geqq b$および$0^\circ < \theta < 90^\circ$とする．点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}_1$とする．また点$\mathrm{A}_1$を通って辺$\mathrm{AB}$に平行な直線と，辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{B}_1$とする．次に点$\mathrm{B}_1$から辺$\mathrm{OA}_1$に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}_2$とし，点$\mathrm{A}_2$を通って辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$に平行な直線と，辺$\mathrm{OB}_1$との交点を$\mathrm{B}_2$とする．以下，この操作を続け，三角形の列
\[ \triangle \mathrm{OA}_1 \mathrm{B}_1,\ \triangle \mathrm{OA}_2 \mathrm{B}_2,\ \cdots,\ \triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n \]
をとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$は，$\triangle \mathrm{OAB}$に相似であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n}{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{B}_{n-1}}$を$a,\ b,\ \theta$の式で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OA}_k \mathrm{B}_k$の面積を$S_k$とする．$a=2,\ b=1,\ \theta=30^\circ$のとき，$S_1+S_2+\cdots + S_n$を$n$の式で表せ．