関数$f(x)=x^3-x^2+x$について，以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ．
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく．$x>0$について
\[ \sqrt[3]{x}-1 < g(x) < \sqrt[3]{x}+1 \]
が成立することを示せ．
(3)$b>a>0$について
\[ 0<\int_a^b \frac{1}{x^2+1}\, dx<\frac{1}{a} \]
が成立することを示せ．
(4)自然数$n$について，(2)で定義された$g(x)$を用いて
\[ A_n=\int_n^{2n} \frac{1}{\{g(x)\}^3+g(x)} \, dx \]
とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n$を求めよ．

$\angle \text{BAC}=90^\circ$である直角三角形ABCにおいて，辺ABの中点をMとする．また，辺BCを$s:(1-s)$に内分する点をPとし，線分APとCMとの交点をRとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$s,\ \overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{a}|=1,\ |\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$とする．線分APとCMが直交するときの$s$の値を求めよ．また，このときの$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$の大きさを求めよ．

$\angle \text{BAC}=90^\circ$である直角三角形ABCにおいて，辺ABの中点をMとする．また，辺BCを$s:(1-s)$に内分する点をPとし，線分APとCMとの交点をRとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$s,\ \overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{a}|=1,\ |\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$とする．線分APとCMが直交するときの$s$の値を求めよ．また，このときの$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$の大きさを求めよ．

$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$をみたす実数とする．$2$次関数$f(x)=x^2-2(\sin \theta)x+\sin^2 \theta$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$のグラフの頂点の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$f(x)$の区間$\displaystyle -\frac{1}{2} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値$M(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$M(\theta)$に対して，$\displaystyle \int_0^{2\pi}M(\theta) \, d\theta$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$は各辺の長さが$1$の正三角形であるとする．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{CA}$上に点$\mathrm{F}$を$\mathrm{AD}=\mathrm{BE}=\mathrm{CF}=x$となるようにとる．ただし$0<x<1$とする．次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{DEF}$の外接円の半径$R$を$x$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$R$を最小にする$x$の値を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，関数$f(x)$，$g(x)$を$f(x)=a(e^x+e^{-x})$，$g(x)=4x+b$とする．曲線$C:y=f(x)$の点$(\log 3,\ f(\log 3))$における接線が直線$\ell:y=g(x)$と一致するとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．また，$\log 3 < 1.1$を用いてよい．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$\ell$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．

$n$を自然数とし，3つの不等式$\displaystyle y \leqq -\frac{x}{n}+2,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$をすべてみたす整数の組$(x,\ y)$の個数を$a_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．このとき，$S_n=510$となる$n$を求めよ．

3次関数$y=f(x)$が$x=1-\sqrt{3}$と$x=1+\sqrt{3}$において極値をとり，点$(3,\ f(3))$における$y=f(x)$のグラフの接線が直線$y=4x-27$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$のとき，$f(x) \geqq 3x^2-14x$が成立することを示せ．

3次関数$y=f(x)$が$x=1-\sqrt{3}$と$x=1+\sqrt{3}$において極値をとり，点$(3,\ f(3))$における$y=f(x)$のグラフの接線が直線$y=4x-27$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$のとき，$f(x) \geqq 3x^2-14x$が成立することを示せ．