「不等号」について
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国立 滋賀大学 2012年 第2問点A$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2} \right)$を不等式$y < 4x-4x^2$の表す領域内の点とし，点Aを通り傾き$m$の直線を$\ell$とする．直線$\ell$と放物線$y=4x-4x^2$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$m$を変化させたとき，$S$の最小値を$g(a)$とする．$g(a)$を与える$m$を$a$を用いて表せ．
(3)$g(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．また，そのときの直線$\ell$の方程式を求めよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$m$を変化させたとき，$S$の最小値を$g(a)$とする．$g(a)$を与える$m$を$a$を用いて表せ．
(3)$g(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．また，そのときの直線$\ell$の方程式を求めよ．
国立 熊本大学 2012年 第3問2つの関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x e^t(\sin t+\cos t)\, dt$と$\displaystyle g(x)=\int_0^x e^t(\cos t-\sin t) \, dt$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$と$g(x)$を求めよ．
(2)$f^{(n)}(x)$と$g^{(n)}(x)$をそれぞれ$f(x)$と$g(x)$の第$n$次導関数とする．
(3)$n \geqq 2$のとき， $f^{(n)}(x)$および$g^{(n)}(x)$を，$f^{(n-1)}(x)$と$g^{(n-1)}(x)$を用いて表せ．
(4)$\{f^{(n)}(x)\}^2+\{g^{(n)}(x)\}^2$を求めよ．
(5)実数$a$について，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2a}}{\{f^{(n)}(a)\}^2+\{g^{(n)}(a)\}^2}$の和を求めよ．
(1)$f(x)$と$g(x)$を求めよ．
(2)$f^{(n)}(x)$と$g^{(n)}(x)$をそれぞれ$f(x)$と$g(x)$の第$n$次導関数とする．
(3)$n \geqq 2$のとき， $f^{(n)}(x)$および$g^{(n)}(x)$を，$f^{(n-1)}(x)$と$g^{(n-1)}(x)$を用いて表せ．
(4)$\{f^{(n)}(x)\}^2+\{g^{(n)}(x)\}^2$を求めよ．
(5)実数$a$について，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2a}}{\{f^{(n)}(a)\}^2+\{g^{(n)}(a)\}^2}$の和を求めよ．
国立 熊本大学 2012年 第4問関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin t-x \cos t| \, dt \quad (x>0) \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$a>0$のとき，$a=\tan \theta$を満たす$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対して，$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin t-x \cos t| \, dt \quad (x>0) \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$a>0$のとき，$a=\tan \theta$を満たす$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対して，$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
国立 熊本大学 2012年 第1問$n \geqq 4$とする．$(n-4)$個の1と4個の$-1$からなる数列$a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)このような数列$\{a_k\}$は何通りあるか求めよ．
(2)数列$\{a_k\}$の初項から第$k$項までの積を$b_k=a_1a_2 \cdots a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$とおく．$b_1+b_2+\cdots +b_n$がとり得る値の最大値および最小値を求めよ．
(3)$b_1+b_2+\cdots +b_n$の最大値および最小値を与える数列$\{a_k\}$はそれぞれ何通りあるか求めよ．
(1)このような数列$\{a_k\}$は何通りあるか求めよ．
(2)数列$\{a_k\}$の初項から第$k$項までの積を$b_k=a_1a_2 \cdots a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$とおく．$b_1+b_2+\cdots +b_n$がとり得る値の最大値および最小値を求めよ．
(3)$b_1+b_2+\cdots +b_n$の最大値および最小値を与える数列$\{a_k\}$はそれぞれ何通りあるか求めよ．
国立 熊本大学 2012年 第2問実数$c$に対して，行列
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$xy$平面上の同一直線上にない3点P，Q，Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$，Q$^\prime$，R$^\prime$に移るとする．三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の$k$倍($k \geqq 1$)となる$c$の値を求めよ．
(2)楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする．楕円$E^\prime$上のすべての点が楕円$E$の周上または外部にあるための，$c$の条件を求めよ．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$xy$平面上の同一直線上にない3点P，Q，Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$，Q$^\prime$，R$^\prime$に移るとする．三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の$k$倍($k \geqq 1$)となる$c$の値を求めよ．
(2)楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする．楕円$E^\prime$上のすべての点が楕円$E$の周上または外部にあるための，$c$の条件を求めよ．
国立 高知大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．
(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．
国立 九州工業大学 2012年 第2問四面体OABCは$\displaystyle \text{OA}=1,\ \text{OB}=\sqrt{15},\ \text{OC}=2,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{AOC}=\frac{\pi}{3}$を満たしている．線分OAとOBを$s:1-s \ (0<s<1)$に内分する点をそれぞれP，Qとし，$\triangle$CPQの重心をGとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c},\ \angle \text{BOC}=\theta \ (0<\theta < \pi)$として，次に答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$は平面ABCに垂直であるとする．
(3)$s$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)線分OGとBCの長さ，および$\angle \text{BAC}$を求めよ．
(5)四面体OABCの体積$V$を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$は平面ABCに垂直であるとする．
(3)$s$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)線分OGとBCの長さ，および$\angle \text{BAC}$を求めよ．
(5)四面体OABCの体積$V$を求めよ．
国立 弘前大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，不等式$\displaystyle 2 \sin x > \cos \left( x-\frac{\pi}{6} \right)$を解け．
(2)$\log_3 5=a,\ \log_5 7=b$とするとき，$\log_{105} 175$を$a$と$b$で表せ．
(1)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，不等式$\displaystyle 2 \sin x > \cos \left( x-\frac{\pi}{6} \right)$を解け．
(2)$\log_3 5=a,\ \log_5 7=b$とするとき，$\log_{105} 175$を$a$と$b$で表せ．
国立 弘前大学 2012年 第3問関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2x$について次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)実数$a$に対して，$a \leqq x \leqq a+2$のときの$f(x)$の最小値を$g(a)$とおく．関数$b=g(a)$のグラフの概形を$ab$平面上にかけ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)実数$a$に対して，$a \leqq x \leqq a+2$のときの$f(x)$の最小値を$g(a)$とおく．関数$b=g(a)$のグラフの概形を$ab$平面上にかけ．
国立 千葉大学 2012年 第10問さいころを$n$回($n \geqq 2$)投げ，$k$回目$\; (1 \leqq k \leqq n)$に出る目を$X_k$とする．
(1)積$X_1X_2$が18以下である確率を求めよ．
(2)積$X_1X_2\cdots X_n$が偶数である確率を求めよ．
(3)積$X_1X_2\cdots X_n$が4の倍数である確率を求めよ．
(4)積$X_1X_2\cdots X_n$を3で割ったときの余りが1である確率を求めよ．
(1)積$X_1X_2$が18以下である確率を求めよ．
(2)積$X_1X_2\cdots X_n$が偶数である確率を求めよ．
(3)積$X_1X_2\cdots X_n$が4の倍数である確率を求めよ．
(4)積$X_1X_2\cdots X_n$を3で割ったときの余りが1である確率を求めよ．