座標平面上の点B$(0,\ 1)$を中心とする半径1の円を$C_0$，$a > 0$とし，点A$(a,\ 0)$を通り$C_0$に接する2直線のうち$x$軸でない方を$\ell$とする．また，$C_0$，$x$軸，$\ell$によって囲まれる領域(境界も含む)の内部にあって，$C_0$，$x$軸，$\ell$に接する円を$C_1$，$C_1$の半径を$r$とする．さらに，$C_0$，$C_1$，$x$軸によって囲まれる領域(境界を含む)の内部にあって，$C_0$，$C_1$，$x$軸に接する円を$C_2$，$C_2$の半径を$s$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)次の問いに答えよ．

\mon[(i)] $r$を$a$で表せ．
\mon[(ii)] $a =\sqrt{3}$のとき，$r$はいくらか．

(2)次の問いに答えよ．

\mon[(i)] $s$を$a$で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle a=\frac{3}{4}$のとき，$s$はいくらか．

(3)極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0}\frac{r}{a^2},\ \lim_{a \to 0}\frac{s}{r}$を求めよ．

媒介変数$t \ (0 < t \leqq \pi)$を用いて
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x=\sin t \\
\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2t
\end{array}
\right. \]
と表される$xy$平面上の曲線を$C_1$，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle x=\cos \theta \sin t-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \sin 2t \\　\\
\displaystyle y=\sin \theta \sin t+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \sin 2t
\end{array}
\right. \]
と表される曲線を$C_2$とする．ここで，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$xy$平面上に$C_1$の概形を描け．
(2)直線$y=-\sqrt{3}x+k$が，$C_1$と少なくとも1点を共有するための実数$k$の条件を求めよ．
(3)直線$y=(\tan \theta)x+l$が，$C_2$と少なくとも1点を共有するための実数$l$の条件を求めよ．
(4)$C_1$が囲む領域の面積を求めよ．

$n,\ r$は$n \geqq r$を満たす正の整数であるとし，$x,\ y$ともに$0$以上$n$以下の整数であるような座標平面上の点$(x,\ y)$の集合を$S$とする．また，曲線$x^2+y^2=r^2 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$，$x$軸，$y$軸によって囲まれる領域(境界を含む)を$D$とする．ここで，$S$からランダムに$1$点を選ぶ試行を考える．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n=10,\ r=5$のとき，選ばれた点が$D$内にある確率はいくらか．
(2)$[\,x\,]$は$x$を超えない最大の整数を表す記号である．直線$x=t$上の点で$D$に含まれる$S$の要素の個数をこの記号を用いて表せ．ここで，$t$は0以上$r$以下の整数とする．
(3)$r=n$とし，選ばれた点が$D$内に含まれる確率を$P(n)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(n)$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)加法定理を用いて，$\cos 2x$および$\cos 3x$を$\cos x$で表せ．
(2)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，関数$f(x)=\cos 3x+\cos 2x-2\cos x$の最大値および最小値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}(1+\sin x)\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$を考える．

(1)$f(x)$の増減と極値，および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と，$x$軸および$2$直線$x=0,\ x=\pi$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$\displaystyle f(\theta)=4\left(\sin^3 \frac{\theta}{2}+\cos^3 \frac{\theta}{2} \right)+6\left(\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2} \right)(\sin \theta -2)-\sqrt{6}(\sin \theta +1)$とおく．ただし，$\theta$の範囲は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{3}{2}\pi$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}$とおくとき，$f(\theta)$を$x$のみの式で表せ．
(2)$f(\theta)$の最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

定数$a$は$0<a<1$をみたすとする．曲線$C:y=(x-1)^2$と$C$上の点$(a,\ (a-1)^2)$における接線$\ell$について，以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$および2直線$x=0,\ x=1$とで囲まれた2つの部分の面積の和$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)曲線$C$と2直線$x=0,\ y=0$とで囲まれ，接線$\ell$の上側にある2つの部分の面積の和$T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を次のように定義する．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a_1=5, b_1=3, \\
\left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
また，自然数$n$について$c_n=a_n^2-b_n^2$とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$c_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とするとき，自然数$\ell$について
\[ a_{k+\ell}=a_ka_\ell + b_kb_\ell, b_{k+\ell}=b_ka_\ell+a_kb_\ell \]
が成立することを，$\ell$に関する数学的帰納法によって示せ．
(3)$n > \ell$となる自然数$n,\ \ell$について
\[ b_{n+\ell}-c_\ell b_{n-\ell}=2a_nb_\ell \]
が成立することを示せ．
(4)$2$以上の自然数$n$について
\[ a_{2n}+\sum_{m=1}^{n-1}c_{n-m}a_{2m}=\frac{b_{2n+1}}{2b_1}-\frac{c_n}{2} \]
が成立することを示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$が連続で，ある$a<b$に対して，$f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$を満たしているものとする．このとき
\[ f(b)-f(a)=\int_a^b \left( \frac{a+b}{2}-x \right) f^{\prime\prime}(x) \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線道路上における車の走行を考える．ある信号で停止していた車が，時刻0で発進後，距離$L$だけ離れた次の信号に時刻$T$で到達し再び停止した．この間にこの車の加速度の絶対値が$\displaystyle \frac{4L}{T^2}$以上である瞬間があることを示せ．

1つのさいころを4回投げ，$i$回目($i=1,\ 2,\ 3,\ 4$)に出る目を$a_i$とする．また，出る目の種類を数え，その数を$m$とする．例えば，$a_1=2,\ a_2=3,\ a_3=2,\ a_4=5$のとき，$2,\ 3,\ 5$の3種類の目が出たので$m=3$とする．次に答えよ．

(1)$m=1$となる場合は何通りあるか．
(2)$m=2$となる確率を求めよ．
(3)$m$の期待値を求めよ．
(4)$a_1 \leqq a_2 \leqq a_3 \leqq a_4$となる確率を求めよ．