半径$1$の円に内接する正$2^n$角形$(n \geqq 2)$の面積を$S_n$，周の長さを$L_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle S_n = 2^{n-1} \sin \frac{\pi}{2^{n-1}},\quad L_n=2^{n+1} \sin \frac{\pi}{2^n}$を示せ．

(2)$\displaystyle \frac{S_n}{S_{n+1}}= \cos \frac{\pi}{2^n},\quad \frac{S_n}{L_n}=\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{2^n}$を示せ．

(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n,\quad \lim_{n \to \infty} \cos \frac{\pi}{2^2}\cos \frac{\pi}{2^3} \cdots \cos \frac{\pi}{2^n}$を求めよ．

(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}2^n \frac{S_2}{L_2}\frac{S_3}{L_3} \cdots \frac{S_n}{L_n}$を求めよ．
（図は省略）

$p$と$q$はともに整数であるとする．2次方程式$x^2 + px+q = 0$が実数解$\alpha,\ \beta$を持ち，条件$(|\alpha|-1)(|\beta|-1) \neq 0$をみたしているとする．このとき，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n = (\alpha^n-1)(\beta^n-1) \quad (n = 1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義する．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$は整数であることを示せ．
(2)$(|\alpha|-1)(|\beta|-1) > 0$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$は整数であることを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$となるとき，$p$と$q$の値をすべて求めよ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしに用いてよい．

$xyz$空間に$4$点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ -1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-\sqrt{3},\ -1,\ 0)$をとる．四面体$\mathrm{PABC}$の$x^2 +y^2 \geqq 1$をみたす部分の体積を求めよ．

実数$a$は$a>-1$とする．関数$f(x)=3x^3-7x^2+5x-1$に対し，
\[ -1<c<a,\ \frac{f(a)-f(-1)}{a+1}=f^{\, \prime}(c) \]
となる$c$がちょうど2つ存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x+2} \ (x>-2)$を考える．曲線$C$上の点P$_1 \displaystyle (0,\ \frac{1}{2})$における接線を$\ell_1$とし，$\ell_1$と$x$軸との交点をQ$_1$，点Q$_1$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_2$とおく．以下同様に，自然数$n \ (n \geqq 2)$に対して，点P$_n$における接線を$\ell_n$とし，$\ell_n$と$x$軸との交点をQ$_n$，点Q$_n$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_{n+1}$とおく．

(1)$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)P$_n$の$x$座標を$x_n \ (n \geqq 1)$とする．$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表し，$x_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\ell_n$，$x$軸，$y$軸で囲まれる三角形の面積$S_n$を求め，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

曲線$C:y=\log x \ (x>0)$を考える．自然数$n$に対して，曲線$C$上に点P$(e^n,\ n)$，Q$(e^{2n},\ 2n)$をとり，$x$軸上に点A$(e^n,\ 0)$，B$(e^{2n},\ 0)$をとる．四角形APQBを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(n)$とする．また，線分PQと曲線$C$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$S(n)$とする．

(1)$V(n)$を$n$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S(n)}{V(n)}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$に対し，
\[ x < \tan x\]
となることを示せ．
(2)$x>0$に対し，
\[ \log \left( x+\sqrt{1+x^2} \right) > \sin x \]
となることを示せ．ただし，対数は自然対数である．

$-\sqrt{5} \leqq x \leqq \sqrt{5}$で定義される2つの関数
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\sqrt{|x|}+\sqrt{5-x^2} \nonumber \\
& & g(x)=\sqrt{|x|}-\sqrt{5-x^2} \nonumber
\end{eqnarray}
に対し，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$と$g(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)座標平面において原点のまわりに角$\theta \ (0<\theta<\pi)$だけ回転する移動を表す行列を$A$とする．$A$が等式$A^2-A+E=O$を満たすとき，$\theta$と$A$を求めよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\ O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$である．
(2)直線$y=\sqrt{3}x$に関する対称移動を表す行列$B$を求めよ．
(3)直線$y=kx$に関する対称移動を表す行列$C$とする．(1)，(2)において求めた行列$A,\ B$に対して$BC=A$が成り立つとき，$k$を求めよ．

1より小さい正の実数$a$に対して
\[ \text{円}C(a): (x+a-1)^2+(y+a-1)^2=2a^2 \]
と定める．その上で，数列$\{a_n\}$を以下の方法によって定める．

\mon[(i)] $n=1$のときは，円$C(a)$が$x$軸と接するような定数$a$の値を$a_1$とする．さらに，円$C(a_1)$と$x$軸との接点をP$_1$とし，円$C(a_1)$の中心をQ$_1$とおく．
\mon[(ii)] $n \geqq 2$のときは，円$C(a)$が直線P$_{n-1}$Q$_{n-1}$と接するような定数$a$の値を$a_n$とする．さらに，円$C(a_n)$と直線P$_{n-1}$Q$_{n-1}$との接点をP$_n$とし，円$C(a_n)$の中心をQ$_n$とおく．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_2$を求めよ．
(3)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．