$x>0$に対して$\displaystyle f(x) =\int_x^{x+1} \log t \, dt$とおき，$y=f(x)$のグラフを$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし$\displaystyle \lim_{x \to +0} x \log x = 0$を使ってよい．

(1)$f(x)$と$f^\prime (x)$をそれぞれ求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^2 f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$k \geqq 0$を定数とする．直線$y = k(x+1)$と曲線$C$が共有点をもつための条件を求めよ．

$a_1$を$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_1 < \frac{\pi}{4}$を満たす数とし，$\{a_n\}$を
\[ a_{n+1} = 1-\sin \;a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$y=1-x$と曲線$y=\sin x$は，$\displaystyle \frac{\pi}{12} < x < \frac{\pi}{4}$の範囲でただ1つの交点をもつことを示せ．
(2)$n$を自然数とするとき，不等式$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_n < \frac{\pi}{4}$を示せ．
(3)(1)の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$が成り立つことを示せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に点$\mathrm{A}(0,\ \sin \theta)$，$\mathrm{B}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．また，点$\mathrm{C}$を$\displaystyle \mathrm{AC}=2,\ \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$を満たす第1象限の点とする．さらに，点$\mathrm{C}$から$x$軸に垂線$\mathrm{CD}$を下ろす．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$を求めよ．また，$\angle \mathrm{OBA}$と$\angle \mathrm{CBD}$および点$\mathrm{C}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)台形$\mathrm{AODC}$の面積を$S$とするとき，$\displaystyle S \leqq 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AO}+\mathrm{CD} \leqq 2$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．
（図は省略）

曲線$C : y = |x^2-2x|$と傾きが$m$の直線$\ell: y = mx$ついて，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=-x^2 +2x$と$\ell$が接する$m$の値を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が原点以外の相異なる2点で交わるような$m$の範囲を求めよ．また，そのときの2つの交点の座標を$m$を用いて表せ．
(3)$m$は(2)で求めた範囲にあるとする．$x \geqq 2,\ y \leqq mx,\ y \geqq |x^2-2x|$で定まる部分の面積$S$を$m$を用いて表せ．

$\log_{10}2 = 0.3010,\ \log_{10}3 = 0.4771$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \log_{10} \left(\frac{2}{3}\right),\ \log_{10} \left( \frac{1}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^m \geqq \frac{1}{10},\ \left( \frac{1}{2} \right)^n \geqq \frac{1}{10}$を満たす最大の自然数$m,\ n$を求めよ．
(3)連立不等式$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^x \left( \frac{1}{2} \right)^y \geqq \frac{1}{10},\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を座標平面に図示せよ．
(4)$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^m \left( \frac{1}{2} \right)^n \geqq \frac{1}{10}$を満たす自然数$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．

図のような$3$辺の長さをもつ三角形$\mathrm{ABC}$がある．

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（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)$45^\circ < \angle \mathrm{B} < 60^\circ$を証明せよ．
(2)$\angle \mathrm{A}=2\angle \mathrm{C}$を証明せよ．
(3)$40^\circ < \angle \mathrm{C} < 45^\circ$を証明せよ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す$1$次変換によって，$2$点$\mathrm{P}(1,\ 1)$，$\mathrm{Q}(2,\ 2)$は連立不等式$1 \leqq x \leqq 2,\ 1 \leqq y \leqq 2$の表す領域内の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$にそれぞれ移されるものとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数で$a>c$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$a+b=1$および$c+d=1$が成り立つことを証明せよ．
(2)$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{R}(a,\ c)$，$\mathrm{S}(a+b,\ c+d)$，$\mathrm{T}(b,\ d)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ORST}$の面積を$p$とするとき，次の式が成り立つことを証明せよ．
\[ A \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) = p \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) \]
(3)自然数$n$に対して，$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \biggr) = A^n \biggl( \begin{array}{cc}
1 & b \\
1 & -c
\end{array} \biggr) \]
で定める．このとき$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を$b,\ c,\ n$および(2)の$p$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle A^3=\frac{1}{27} \biggl( \begin{array}{cc}
14 & 13 \\
13 & 14
\end{array} \biggr)$となるように$A$を定めよ．

$a$を実数とし，$f(x)=x^3-3x^2+3x$とおく．数列$\{x_n\}$を
\[ x_1=a,\ x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$n$について$x_n=a$となるとき，$a$を求めよ．
(2)$a<1$のとき，$x_n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを証明せよ．
(3)$0<a<1$のとき，$x_n<x_{n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを証明せよ．

$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする．原点Oを中心とする単位円周上の異なる3点A，B，Cが条件
\[ (\cos \theta) \overrightarrow{\mathrm{OA}} + (\sin \theta) \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)2つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は垂直であることを証明せよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{CB}}|$を$\theta$を用いて表せ．
(3)三角形ABCの周の長さ$\text{AB}+ \text{BC} + \text{CA}$を最大にする$\theta$を求めよ．

$n$は$3$以上の整数とする．$1$から$n$までの整数から連続する$2$つの整数$x,\ x+1$を取り除く．次の問いに答えよ．

(1)$n=17$のとき，残された整数の総和を個数$15$で割った値が$\displaystyle \frac{42}{5}$であったとする．取り除いた$2$つの整数を求めよ．
(2)$n \geqq 39$のとき，不等式
\[ \frac{1}{2}n(n+1) -1 -2(n-1) > \frac{205}{11}(n-2) \]
が成り立つことを証明せよ．
(3)残された整数の総和を個数$n-2$で割った値が$\displaystyle \frac{205}{11}$であるとする．$n$と取り除いた$2$つの整数を求めよ．