行列$X=\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right),\ Y=\left(
\begin{array}{cc}
-2 & 3 \\
3 & 6
\end{array}
\right)$は$XY=YX$を満たす．次の問いに答えよ．

(1)$c,\ d$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$X^2=E,\ b>0$のとき，$X$を求めよ．ただし，$E$は単位行列とする．
(3)$xy$平面上に直線$\ell$があり，(2)で求めた行列$X$の表す$1$次変換によって$\ell$上の点はすべて$\ell$上の点に移される．$\ell$の方程式を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$k$を$0$以上の整数とするとき，
\[ \displaystyle \frac{x}{3} + \frac{y}{2} \leqq k \]
を満たす$0$以上の整数$x,\ y$の組$(x,\ y)$の個数を$a_k$とする．$a_k$を$k$の式で表せ．
(2)$n$を$0$以上の整数とするとき，
\[ \displaystyle \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + z \leqq k \]
を満たす$0$以上の整数$x,\ y,\ z$の組$(x,\ y,\ z)$の個数を$b_n$とする．$b_n$を$n$の式で表せ．

平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| =1,\quad \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-\frac{1}{2} \]
を満たすとする．ただし，記号$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$はベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を表す．以下の問いに答えよ．

(1)実数$p,\ q$に対して，$\overrightarrow{c} = p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の条件
\[ |\overrightarrow{c}|=1,\quad \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0,\quad p>0 \]
を満たす実数$p,\ q$を求めよ．
(2)平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$が
\[ -1 \leqq \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{x} \leqq 1 , \quad 1 \leqq \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{x} \leqq 2 \]
を満たすとき，$|\overrightarrow{x}|$のとりうる値の範囲を求めよ．

$xy$平面上に$n$個の点P$_k(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$がある．
\[ a=\sum_{k=1}^n x_k^2, \quad b=\sum_{k=1}^n y_k^2, \quad c= \sum_{k=1}^n x_ky_k \]
とおく．さらに，P$_k$と直線$\ell: x\cos \theta + y\sin \theta = 0$の距離を$d_k$とし，
\[ L = \sum_{k=1}^n d_k^2 \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)$L$を$a,\ b,\ c,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$0 \leqq \theta < \pi$の範囲を動くとき，$L$の最大値と最小値を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$a \neq b$または$c \neq 0$のとき，$L$を最大にする$\ell$を$\ell_1$，最小にする$\ell$を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$は直交することを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$k$を$0$以上の整数とするとき，
\[ \displaystyle \frac{x}{3} + \frac{y}{2} \leqq k \]
を満たす$0$以上の整数$x,\ y$の組$(x,\ y)$の個数を$a_k$とする．$a_k$を$k$の式で表せ．
(2)$n$を$0$以上の整数とするとき，
\[ \displaystyle \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + z \leqq k \]
を満たす$0$以上の整数$x,\ y,\ z$の組$(x,\ y,\ z)$の個数を$b_n$とする．$b_n$を$n$の式で表せ．

$f(x)=\log_2 (x-1)+\log_2 (4-x)$とする．次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)不等式$f(x) \geqq 0$を解け．
(3)関数$f(x)$の最大値を$m$とするとき，$2^{m-2}$を求めよ．
(4)(3)の$m$について，$1000^m$の整数部分の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}$上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{A}$の$x$座標は$3$である．点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$における$C$の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とおくと，$\angle \mathrm{APB} = 45^\circ$であった．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$m$の傾きを求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)$C,\ \ell,\ m$で囲まれた図形において，不等式$x \geqq 0$を満たす部分の面積$S$を求めよ．

関数
\[ y=4 \cos x \sin 2x -3\sqrt{3} \cos 2x -8 \sin x + \sqrt{3} \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$t = \sin x$とおき，$y$を$t$の関数として表せ．
(2)$0 \leqq x < 2 \pi$のとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値，および，$y$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)正の実数$x,\ y$に対して
\[ \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \geqq 2 \]
が成り立つことを示し，等号が成立するための条件を求めよ．
(2)$n$を自然数とする．$n$個の正の実数$a_1,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ (a_1 +\cdots+a_n) \left( \frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n} \right) \geqq n^2 \]
が成り立つことを示し，等号が成立するための条件を求めよ．

自然対数の底を$e$とする．以下の問に答えよ．

(1)$e<3$であることを用いて，不等式$\displaystyle \log 2 > \frac{3}{5}$が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x) = \frac{\sin x}{1+\cos x}-x$の導関数を求めよ．
(3)積分
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x} \, dx \]
の値を求めよ．
(4)(3)で求めた値が正であるか負であるかを判定せよ．