$0 \leqq a \leqq 1$に対して
\[ f(a) = \int_0^1 \left| (x-a)(x-3+a) \right| \, dx \]
と定める．$f(a)$の最大値と最小値を求めよ．

$2\times2$行列$P=\biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \biggr)$に対して
\[ \mathrm{Tr}(P)=p+s \]
と定める．\\
\quad $a$，$b$，$c$は$a\geqq b>0$，$0\leqq c\leqq1$を満たす実数とする．行列$A$，$B$，$C$，$D$を次で定める．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \biggr),\ B= \biggl( \begin{array}{cc}
b & 0 \\
0 & a
\end{array} \biggr),\ C= \biggl( \begin{array}{cc}
a^c & 0 \\
0 & b^c
\end{array} \biggr),\ D= \biggl( \begin{array}{cc}
b^{1-c} & 0 \\
0 & a^{1-c}
\end{array} \biggr) \]
また実数$x$に対し$U(x)= \biggl( \begin{array}{cc}
\cos x & -\sin x \\
\sin x & \cos x
\end{array} \biggr)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)各実数$t$に対して，$x$の関数
\[ f(x)=\mathrm{Tr}\Biggl(\Bigl(U(t)AU(-t)-B \Bigr)U(x) \biggl( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr)U(-x)\Biggr) \]
の最大値$m(t)$を求めよ．(ただし，最大値をとる$x$を求める必要はない．)
(2)すべての実数$t$に対し
\[ 2\mathrm{Tr}(U(t)CU(-t)D)\geqq \mathrm{Tr}(U(t)AU(-t)+B)-m(t) \]
が成り立つことを示せ．

関数$f(x)$を
\[ f(x) = \left| \,2\, \cos^2 x -2\sqrt{3} \, \sin x \, \cos x - \sin x + \sqrt{3}\, \cos x - \frac{5}{4} \, \right| \]
と定める．以下の問いに答えよ．

(1)$t=-\sin x + \sqrt{3} \cos x$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表せ．
(2)$x$が$0 \leqq x \leqq 90^\circ$の範囲を動くとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$x$が$0 \leqq x \leqq 90^\circ$の範囲を動くとき，$f(x)$のとりうる値の範囲を求めよ．また，$f(x)$が最大値をとる$x$は，$60^\circ < x< 75^\circ$を満たすことを示せ．

$s,\ t$を実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x=s+t+1,\ y=s-t-1$とおく．$s,\ t$が$s \geqq 0,\;\; t \geqq 0$の範囲を動くとき，点$(x,\ y)$の動く範囲を座標平面内に図示せよ．
(2)$x=st+s-t+1,\ y=s+t-1$とおく．$s,\ t$が実数全体を動くとき，点$(x,\ y)$の動く範囲を座標平面内に図示せよ．

$xyz$空間に3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 1)$，B$(0,\ \sqrt{3},\ 1)$がある．平面$z=0$に含まれ，中心がO，半径が1の円を$W$とする．点Pが線分OA上を，点Qが円$W$の周および内部を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_A$とおく．同様に点Pが線分OB上を，点Qが円$W$の周および内部を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_B$とおく．さらに$V_A$と$V_B$の重なり合う部分を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)平面$\displaystyle z=\cos \theta \ (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$による立体$V$の切り口の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)立体$V$の体積を求めよ．

1個のさいころを3回続けて投げるとき，1回目に出る目を$\ell$，2回目に出る目を$m$，3回目に出る目を$n$で表すことにする．こ
のとき，以下の同いに答えよ．

(1)極限値
\[ \lim_{x \to -1} \frac{l x^2+mx+n}{x+1} \]
が存在する確率を求めよ．
(2)関数
\[ f(x) = \frac{l x^2+mx+n}{x+1} \]
が，$x > -1$の範囲で極値をとる確率を求めよ．

$xy$平面上に，点$(0,\ 1)$を通り，傾きが$k$の直線$\ell$がある．

(1)$xy$平面において，$\ell$に関して点P$(a,\ b)$と対称な点をQ$(s,\ t)$とする．このとき，$a,\ b,\ k$を用いて$s,\ t$を表せ．ただし，点P$(a,\ b)$は$\ell$上にないとする．
(2)$xy$平面において，$\ell$に関して原点O$(0,\ 0)$と対称な点をAとする．$k$が$-1 \leqq k \leqq 1$の範囲を動くとき，線分OAの長さの最大値と最小値を求めよ．
(3)$k$が$-1 \leqq k \leqq 1$の範囲を動くときの点Aの軌跡を$C$とする．$C$と直線$y=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$n$を2以上の整数とする．1から$n$までの整数が1つずつ書かれている$n$枚のカードがある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．この$n$枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す．この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値を$X$，最大値を$Y$とする．次の問に答えよ．ただし，$j$と$k$は正の整数で，$j+k\leqq n$を満たすとする．また，$s$は$n-1$以下の正の整数とする．

(1)$X \geqq j$かつ$Y \leqq j+k$となる確率を求めよ．
(2)$X=j$かつ$Y=j+k$となる確率を求めよ．
(3)$Y-X=s$となる確率を$P(s)$とする．$P(s)$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$P(s)$を最大にする$s$を求めよ．

次の$2$つの条件$\maru{1}, \maru{2}$をみたす自然数$n$について考える．\\
\quad \maru{1} $n$は素数ではない．\\
\quad \maru{2} $l,\ m$を$1$でも$n$でもない$n$の正の約数とすると，必ず
\[ |l-m| \leqq 2 \]
\qquad である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n$が偶数のとき，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．
(2)$n$が$7$の倍数のとき，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．
(3)$2 \leqq n \leqq 1000$の範囲で，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．

$xy$平面上で考える．不等式$y < -x^2+16$の表す領域を$D$とし，不等式$|x-1|+|y| \leqq 1$の表す領域を$E$とする．このとき，以
下の問いに答えよ．

(1)領域$D$と領域$E$をそれぞれ図示せよ．
(2)A$(a,\ b)$を領域$D$に属する点とする．点A$(a,\ b)$を通り傾きが$-2a$の直線と放物線$y=-x^2+16$で囲まれた部分の面積を$S(a,\ b)$とする．$S(a,\ b)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)点A$(a,\ b)$が領域$E$を動くとき，$S(a,\ b)$の最大値を求めよ．