$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(a+3,\ b)$，$\mathrm{C}(a+1,\ b+2)$がある．不等式$y \geqq x^2$の表す領域を$D$，不等式$y \leqq x^2$の表す領域を$E$とする．

(1)点$\mathrm{C}$が領域$D$に含まれ，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$が領域$E$に含まれるような$a,\ b$の条件を連立不等式で表せ．
(2)$(1)$で求めた条件を満たす点$(a,\ b)$の領域$F$を$ab$平面上に図示せよ．
(3)$(2)$で求めた領域$F$の面積を求めよ．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$チームが試合を行い，どちらかが先に$k$勝するまで試合をくり返す．各試合で$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p$，$\mathrm{B}$が勝つ確率を$q$とし，$p+q=1$とする．$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$k$勝する確率を$P_k$とおく．

(1)$P_2$を$p$と$q$で表せ．
(2)$P_3$を$p$と$q$で表せ．
(3)$\displaystyle\frac{1}{2} < q < 1$のとき，$P_3 < P_2$であることを示せ．

$1$つの角が$120^\circ$の三角形がある．この三角形の$3$辺の長さ$x,\ y,\ z$は$x<y<z$を満たす整数である．

(1)$x+y-z=2$を満たす$x,\ y,\ z$の組をすべて求めよ．
(2)$x+y-z=3$を満たす$x,\ y,\ z$の組をすべて求めよ．
(3)$a,\ b$を$0$以上の整数とする．$x+y-z=2^a\,3^b$を満たす$x,\ y,\ z$の組の個数を$a$と$b$の式で表せ．

$a$を正の定数とし，$xy$平面上の曲線$C$の方程式を$y=x^3-a^2x$とする．

(1)$C$上の点A$(t,\ t^3-a^2t)$における$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$と$C$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．ただし，$t$は0でないとする．
(2)$b$を実数とする．$C$の接線のうち$xy$平面上の点B$(2a,\ b)$を通るものの本数を求めよ．
(3)$C$の接線のうち点B$(2a,\ b)$を通るものが2本のみの場合を考え，それらの接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$\ell_1$と$\ell_2$はどちらも原点$(0,\ 0)$を通らないとする．$\ell_1$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$\ell_2$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1 \geqq S_2$として，$\displaystyle\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．

$a>0$とする．$C_1$を曲線$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{a^2}=1$，$C_2$を直線$y=2ax-3a$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点Pが$C_1$上を動き，点Qが$C_2$上を動くとき，線分PQの長さの最小値を$f(a)$とする．$f(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)極限値$\displaystyle\lim_{a \to \infty}f(a)$を求めよ．

次の2つの条件$\maru{1}, \maru{2}$をみたす自然数$n$について考える．\\
\quad \maru{1} $n$は素数ではない．\\
\quad \maru{2} $l,\ m$を1でも$n$でもない$n$の正の約数とすると，必ず
\[ |l-m| \leqq 2 \]
\qquad である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n$が偶数のとき，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．
(2)$n$が7の倍数のとき，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．
(3)$2 \leqq n \leqq 1000$の範囲で，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．

$a$を正の実数とし，$x,\ y$に関する次の不等式を考える．
\[ \begin{array}{ll}
3y \geqq 5x & \cdots\cdots① \\
4y \geqq 7a & \cdots\cdots② \\
x-y \geqq 3-a & \cdots\cdots③
\end{array} \]

(1)$①,\ ②$を同時に満たす点$(x,\ y)$のなす領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)$①,\ ②,\ ③$を同時に満たす実数の組$(x,\ y)$が存在するような$a$の範囲を求めよ．

$n$を2以上の整数とする．1から$n$までの整数が1つずつ書かれている$n$枚のカードがある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．この$n$枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す．この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値を$X$，最大値を$Y$とする．次の問に答えよ．ただし，$j$と$k$は正の整数で，$j+k\leqq n$を満たすとする．また，$s$は$n-1$以下の正の整数とする．

(1)$X \geqq j$かつ$Y \leqq j+k$となる確率を求めよ．
(2)$X=j$かつ$Y=j+k$となる確率を求めよ．
(3)$Y-X=s$となる確率を$P(s)$とする．$P(s)$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$P(s)$を最大にする$s$を求めよ．

正$n$角形の頂点を$\mathrm{A}_0$，$\mathrm{A}_1$，$\cdots$，$\mathrm{A}_{n-1}$とする．頂点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_{n-1}$から$2$点をとり，それらと$\mathrm{A}_0$を頂点とする三角形を作る．このようにして得られる三角形の総数を$a_n$，そのうちの二等辺三角形の総数を$b_n$とする．ただし正三角形は二等辺三角形とみなす．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$a_6$および$b_6$を求めよ．
(2)整数$m \geqq 3$に対し，$S=\displaystyle\sum_{k=3}^m a_k$を求めよ．
(3)$b_9$を求めよ．

さいころを$n$回投げて出た目を順に$X_1,\ X_2,\cdots,\ X_n $とする．さらに
\[ Y_1 = X_1, \quad Y_k = X_k + \frac{1}{Y_{k-1}} \quad (k=2,\ \cdots,\ n) \]
によって$Y_1,\ Y_2,\cdots,\ Y_n$を定める．
\[ \frac{1+\sqrt{3}}{2} \leqq Y_n \leqq 1+\sqrt{3} \]
となる確率$p_n$を求めよ．