以下の問に答えなさい．

(1)$\sin \theta+\cos \theta=t$とするとき，$\sin \theta \cos \theta$を$t$の式で表しなさい．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，
\[ \sqrt{2}(\sin \theta+\cos \theta)=4 \sin \theta \cos \theta \]
となる$\theta$の値をすべて求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)$2$次不等式$2x^2-3x-2 \geqq 0$を解きなさい．
(2)実数$x,\ y$が$2x^2+y^2-3x=2$を満たすとき，$x$と$y$の取りうる値の範囲を求めなさい．
(3)$2x^2+y^2-3x=2$のとき，$2y^2+6 |x|+3$の最大値および最小値を求めなさい．

次の連立不等式で定まる座標平面上の領域$D$を考える．
\[ x^2+ (y-1)^2 \leqq 1, \quad x \geqq \frac{\sqrt{2}}{3} \]
直線$\ell$は原点を通り，$D$との共通部分が線分となるものとする．その線分の長さ$L$の最大値を求めよ．また，$L$が最大値をとるとき，$x$軸と$\ell$のなす角$\theta\ (0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2})$の余弦$\cos \theta$を求めよ．

座標平面上で2つの不等式
\[ y \geqq \frac{1}{2}x^2,\quad \frac{x^2}{4}+4y^2 \leqq \frac{1}{8} \]
によって定まる領域を$S$とする．$S$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_1$とし，$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_2$とする．

(1)$V_1$と$V_2$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle\frac{V_2}{V_1}$の値と1の大小を判定せよ．

次の各問に答えよ．

(1)$2$つの曲線$y=x^4$と$y=x^2+2$とによって囲まれる図形の面積を求めよ．
(2)$n$を$3$以上の整数とする．$1$から$n$までの番号をつけた$n$枚の札の組が$2$つある．これら$2n$枚の札をよく混ぜ合わせて，札を$1$枚ずつ$3$回取り出し，取り出した順にその番号を$X_1,\ X_2,\ X_3$とする．$X_1<X_2<X_3$となる確率を求めよ．ただし一度取り出した札は元に戻さないものとする．

次の条件($*$)を満たす正の実数の組$(a,\ b)$の範囲を求め，座標平面上に図示せよ．\\
($*$) \; $\cos a\theta = \cos b\theta$かつ$0<\theta \leqq \pi$となる$\theta$がちょうど$1$つある．

次の命題(p)，(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．

\mon[(p)] 正$n$角形の頂点から$3$点を選んで内角の$1$コが$60^\circ$である三角形を作ることができるならば，$n$は$3$の倍数である．
\mon[(q)] $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ABD}$において，$\mathrm{AC}<\mathrm{AD}$かつ$\mathrm{BC}<\mathrm{BD}$ならば．$\angle \mathrm{C} > \angle \mathrm{D}$である．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$が次の条件(D)を満たすとする．

\mon[(D)] $A$の成分$a$，$b$，$c$，$d$は整数である．また，平面上の4点$(0,\ 0)$，$(a,\ b)$，$(a+c,\ b+d)$，$(c,\ d)$は，面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす．

$B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)行列$BA$と$B^{-1}A$も条件(D)を満たすことを示せ．
(2)$c=0$ならば，$A$に$B$，$B^{-1}$のどちらかを左から次々にかけることにより，4個の行列$\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr)$のどれかにできることを示せ．
(3)$|\,a\,| \geqq |\,c\,| >0$とする．$BA$，$B^{-1}A$に少なくともどちらか一方は，それを$\biggl( \begin{array}{cc}
x & y \\
z & w
\end{array} \biggr)$とすると
\[ |\,x\,|+|\,z\,| < |\,a\,|+|\,c\,| \]
を満たすことを示せ．

$m>0$，$n>0$，$0<x<1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{AQ}$を$1:x$に外分する点を$\mathrm{S}$，線分$\mathrm{BP}$を$1:x$に外分する点を$\mathrm{T}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$m,\ n,\ x$で表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$が一直線上にあるとき，$x$を$m,\ n$で表せ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数
\[ f(\theta) = 4\cos 2\theta\, \sin \theta \ +\ 3\!\sqrt{2}\, \cos 2\theta \ -\ 4\sin \theta \]
を考える．

(1)$x=\sin \theta$とおく．$f(\theta)$を$x$で表せ．
(2)$f(\theta)$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．