$a>0$とする．関数$f(x)=x^3+ax^2-1$の極値の差が$4$となるとき，$a$の値を求めよ．

次の不等式を解け．
\[ \log_2 (4-x)+\log_4 (x+2) \leqq \frac{5}{2} \]

次の等式が$x$の恒等式になるような$a,\ b$を求めよ．
\[ \cos x+\cos (a+x)+\cos (b+x)=0 \]
ただし，$0 \leqq a \leqq \pi \leqq b \leqq 2\pi$とする．

大，小の$2$つのサイコロを同時になげ，大のサイコロの出た目を$a$，小のサイコロの出た目を$b$とする．このとき，$a+b<ab$となる確率を求めよ．

$\overrightarrow{a}$は長さ$1$のベクトル，$\overrightarrow{b}$は長さ$3$のベクトルで，これらのベクトルのなす角度を$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$としたとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{2}$である．いま，ベクトル$k \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}$のなす角度が$2 \theta$であるとき，$k$の値を求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)座標平面上の直線$x+2y=6$上にあって，点$(2,\ -3)$との距離が最小になる点の座標を求めよ．
(2)座標平面上の曲線$C:x^2+xy+y^2=3$について，以下の問いに答えよ．

(i) 原点のまわりの${45}^\circ$の回転移動によって，$C$上の各点が移る曲線の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$C$で囲まれた図形のうち，$y \geqq 0$の領域に含まれる部分の面積を求めよ．

(3)座標平面上において，曲線$C_1:y=x \log x (x \geqq 1)$と放物線$C_2:y=ax^2$がある点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$を持つものとする．

(i) $a$の値を求めよ．
(ii) $C_1$，$C_2$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1$，$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$の値を求めよ．

(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$で表し，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す．$\displaystyle \tan \theta=\frac{3}{4}$になる$\displaystyle \theta \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$について，$\displaystyle \frac{a}{c} \cos (B-\theta)+\frac{b}{c} \cos (A+\theta)$の値を求めよ．
(5)$n$は自然数とする．導関数の定義にしたがって，関数$f(x)=x^n$の導関数を求めよ．
(6)$n$は$2$以上の自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{2^n}$は，小数第$(n-1)$位が$2$，小数第$n$位が$5$である小数第$n$位までの有限小数で表わされることを示せ．

$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{G}(0,\ 0,\ \sqrt{2})$を$xyz$空間の点とする．正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$\mathrm{G}$を頂点とする四角すいの内部の点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$で，$x^2+y^2 \leqq 1$を満たす点を集めた図形を$V$とする．また，平面$z=a$で$V$を切断したときの切断面を$S_a$とする．ただし，$0<a<\sqrt{2}$である．以下の問いに答えよ．

(1)$S_a$が正方形となる$a$の最小値を$z_0$とする．$z_0$の値を求めよ．
(2)$(1)$の$z_0$について，$0<a<z_0$とする．$\displaystyle \cos \theta=1-\frac{a}{\sqrt{2}}$を満たす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を用いて$S_a$の面積を表せ．
(3)$V$の体積を求めよ．

定数$a$を実数とし，$0 \leqq x<2\pi$とする．関数$f(x)=1-2a-2a \cos x-2 \sin^2 x$の最小値が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$a$の値とそのときの$f(x)$の最大値を求めよ．

$x \geqq 0$とする．関数$f(x)=-x^3+x$と関数$g(x)=x^3-x^2$がある．$xy$平面上に曲線$C_1:y=f(x)$および曲線$C_2:y=g(x)$を定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$上の点$(1,\ 0)$における曲線$C_1$の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C_1$の接線と曲線$C_2$の接線が直交するとき，曲線$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$において，$f(x) \geqq g(x)$が成り立つことを示せ．
(4)原点を通り，曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれる図形の面積を二等分する直線の方程式を求めよ．

$m>0$，$n>0$とする．座標平面の$x$軸上に原点$\mathrm{O}$をはさんで左側に点$\mathrm{B}$，右側に点$\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{BC}$の長さを$c$とする．ただし，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$は共に点$\mathrm{O}$と異なるものとする．以下の問に答えなさい．

(1)原点$\mathrm{O}$が線分$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分するとき，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$x$座標を$m,\ n,\ c$を用いて表しなさい．
(2)座標平面上の任意の点$\mathrm{A}(a,\ b)$は，次の関係式を満たすことを示しなさい．
\[ \frac{n}{m+n} \mathrm{AB}^2+\frac{m}{m+n} \mathrm{AC}^2=\mathrm{AO}^2+\frac{n}{m} \mathrm{BO}^2 \]