$xy$平面上に$7$点$\mathrm{A}(-4,\ 1)$，$\mathrm{B}(-5,\ 0)$，$\mathrm{C}(-3,\ 0)$，$\mathrm{D}(-2,\ 1)$，$\mathrm{E}(0,\ 2)$，$\mathrm{F}(0,\ 0)$，$\mathrm{G}(2,\ 0)$がある．四角形$\mathrm{ABCD}$は右へ，三角形$\mathrm{EFG}$は左へ，それぞれ$x$軸に平行に毎秒$0.5$の速さで移動する．移動開始から$t$秒後の状況について，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{F}$が$t_1$秒後に点$\mathrm{C}$と，$t_2$秒後に点$\mathrm{B}$と一致した．$t_1$と$t_2$の値を求めよ．
(2)$t_1<t<t_2$とする．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$と三角形$\mathrm{EFG}$の重なる部分の面積$S$を$t$を用いて表し，$S$の最大値を求めよ．

初項$a_1=0$，漸化式$a_{n+1}=a_n+2n-15$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える．また，数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_n>0$を満たす最小の$n$を求めよ．
(3)数列$\{S_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$S_n>a_n$を満たす最小の$n$を求めよ．
(5)数列$\{T_n\}$の一般項を$T_n=S_n-n \cdot a_n$によって定める．$T_n$が，ある数列$\{b_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和となるとする．その数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

$a$を正の定数とする．$n$を$0$以上の整数とし，多項式$P_n(x)$を$n$階微分を用いて
\[ P_n(x)=\frac{d^n}{dx^n}(x^2-a^2)^n \quad (n \geqq 1),\quad P_0(x)=1 \]
とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$n=2$および$n=3$に対して
\[ P_2(-a),\quad P_3(-a) \]
を求めよ．
(2)$u=u(x)$，$v=v(x)$を何回でも微分可能な関数とする．そのとき，{\bf ライプニッツの公式}
\[ (uv)^{(n)}=\comb{n}{0}u^{(n)}v+\comb{n}{1}u^{(n-1)}v^\prime+\cdots +\comb{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}+\cdots +\comb{n}{n-1}u^\prime v^{(n-1)}+\comb{n}{n}uv^{(n)} \]
を数学的帰納法を用いて証明せよ（ただし，$n \geqq 1$）．ここで，$w^{(k)}$は$w=w(x)$の第$k$次導関数を表し，また$w^{(0)}=w$とする．
(3)一般の$n$に対して
\[ P_n(-a),\quad P_n(a) \]
を求めよ．

座標平面上において，原点を中心とする半径$1$の円に，放物線$\displaystyle C:y=-\frac{p}{2}x^2+q (p>0,\ q>0)$が異なる$2$点で接しているとする．以下の問いに答えよ．

(1)$p,\ q$の満たす関係式および$p,\ q$の取りうる範囲を求めよ．
(2)$x$軸と$C$で囲まれた図形（ただし，$y \geqq 0$）の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$(1)$の条件の下で$p$が動くとき，$S$の最小値を求めよ．

$a,\ b,\ c$は正の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数
\[ \sqrt{x(a+x)}-a \log (\sqrt{x}+\sqrt{x+a}) \]
の導関数を求めよ．
(2)部分積分を用いて
\[ \int \sqrt{x(bx+c)} \, dx=\frac{1}{2}x \sqrt{x(bx+c)}+\frac{c}{4} \int \sqrt{\frac{x}{bx+c}} \, dx \quad (x>0) \]
が成り立つことを示せ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \sqrt{x(2x+1)} \, dx (x>0)$を求めよ．

$n$個のボールと，$1$から$n$までの番号がふられた$n$個の空の箱がある．また，$1$から$n$の番号が書かれた$n$枚のカードが袋の中に入っている．いま，以下の手順に従いボールを箱の中に入れていくことを考える．

手順$1$ \quad 袋からカードを$1$枚無作為に取り出して，手順$2$に進む．
手順$2$ \quad 手順$1$で取り出したカードに書かれている番号の箱が，
\begin{itemize}
空ならば，そこにボールを$1$つ入れて，手順$3$へ進む．
空でなければ，カードを袋に戻さず手元に置き，手順$1$に戻る．
\end{itemize}
手順$3$ \quad 手元のすべてのカードを袋に戻す．この時点で，
\begin{itemize}
すべての箱にボールが入っていれば終了する．
空の箱が$1$つでもあれば，手順$1$に戻る．
\end{itemize}

また，$1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$について，$k-1$個目のボールを箱に入れ終わった状態（ただし，$k=1$のときは，はじめの状態とする）の後に，
\begin{itemize}
次のボール，すなわち$k$個目のボールを箱に入れるまでにちょうど$i$枚のカードを袋から取り出す確率を$P_k(i)$とし，
$i$枚のカードを袋から取り出してもまだ次のボールを箱に入れることができない確率を$Q_k(i)$とする．ただし，$Q_k(0)=1$とする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n=4$のとき$P_3(1)$，$P_3(2)$，$Q_3(2)$をそれぞれ求めよ．
(2)$Q_k(i)$を$P_k(i+1)$，$P_k(i+2)$，$\cdots$，$P_k(k)$を用いて表せ．ただし，$0 \leqq i \leqq k-1$とする．
(3)$k-1$個目のボールを箱に入れてから$k$個目のボールを箱に入れるまでに袋から取り出すカードの枚数の期待値$E_k$は$Q_k(0)+Q_k(1)+\cdots +Q_k(k-1)$であることを示せ．
(4)不等式
\[ E_k \leqq \frac{n}{n-k+1} \]
が成り立つことを示せ．
(5)不等式
\[ E_1+E_2+\cdots +E_n \leqq n+n \log n \]
が成り立つことを示せ．

$2$次関数$f(x)=-x^2-2x+1$，$g(x)=-2x^2+px+q$について，以下の設問に答えよ．ただし，$g(1)=-2$，$g(-1)=0$であり，$p,\ q$は実数の定数とする．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$p$と$q$の値を求めよ．
(2)$f(x)<g(x)$となる$x$の値の範囲を求めよ．
(3)$h(x)$を次のように定義する．

$f(x) \geqq g(x)$の場合は$h(x)=f(x)$
$f(x)<g(x)$の場合は$h(x)=g(x)$

次に，正の実数$k$に対して$M(k)$と$m(k)$を次のように定義する．

$M(k)$は$-k \leqq x \leqq k$における$h(x)$の最大値
$m(k)$は$-k \leqq x \leqq k$における$h(x)$の最小値
(i) $M(2)$と$m(2)$の値を求めよ．
(ii) $M(k)$と$m(k)$の値を$k$を用いて表せ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について，$x=4(1-2 \sin^2 \theta)$，$y=8 \sin \theta \cos \theta$とし，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円$C$を考える．以下の設問に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$\theta=0$の場合，原点$\mathrm{O}$から円$C$に$2$本の接線を引いたとき，この$2$本の接線のなす角を$\alpha$とする．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．このときの$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}$と$\tan \alpha$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を$\sin 2\theta$または$\cos 2\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$が$(3)$で求められた軌跡をたどったとき，円$C$が通過してできた図形の面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，$f(x)=ae^{-ax}$とする．ただし，$e$を自然対数の底とする．原点を$\mathrm{O}$とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$における接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，以下の設問に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)接線$\ell$の方程式と$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における接線と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=t$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)$s$の値が$s \geqq 0$の範囲で変化するとき，三角形$\mathrm{ROQ}$の面積$T(s)$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)$\sqrt{6+4 \sqrt{2}}$の小数部分を$a$とすると，$a=[ア]$，$\displaystyle a^2-\frac{1}{a^2}=[イ]$となる．
(2)$2$次関数$y=3x^2-6x+a+6 (0 \leqq x \leqq 3)$の最小値が$5$となるような定数$a$の値は$[ウ]$である．また，このとき最大値は$[エ]$である．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$6$個の数字から異なる$3$個の数字を取り出して並べ，$3$桁の整数を作るとき，整数は全部で$[オ]$個，偶数は全部で$[カ]$個となる．
(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=3$とする．$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とするとき，$\cos \theta$は$[キ]$，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ク]$である．
(5)赤いカード$4$枚，青いカード$3$枚，合計$7$枚のカードがある．この中から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，$2$枚とも赤いカードとなる確率は$[ケ]$である．また，赤いカードを$1$点，青いカードを$5$点とするとき，取り出した$2$枚のカードの合計点の期待値は$[コ]$である．