「不等号」について
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私立 千歳科学技術大学 2013年 第1問次の各問いに答えなさい．
(1)$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解しなさい．
(2)$\displaystyle y=x+\frac{7}{x+2} (x>0)$の最小値を求めなさい．
(3)$a_1=5,\ a_{n+1}=3a_n-2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．
(4)$\pi$を円周率（$3.14159 \cdots$）とするとき，次の無限数列の和$S$を求めなさい．
$S=3.14159\cdots$
$\qquad +0.314159\cdots$
$\qquad\qquad +0.0314159\cdots$
$\qquad\qquad\qquad +0.00314159 \cdots$
$\qquad\qquad\qquad\qquad +0.0003.14159 \cdots$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \cdots\cdots$
(5)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1-x} \, dx$を求めなさい．
(1)$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解しなさい．
(2)$\displaystyle y=x+\frac{7}{x+2} (x>0)$の最小値を求めなさい．
(3)$a_1=5,\ a_{n+1}=3a_n-2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．
(4)$\pi$を円周率（$3.14159 \cdots$）とするとき，次の無限数列の和$S$を求めなさい．
$S=3.14159\cdots$
$\qquad +0.314159\cdots$
$\qquad\qquad +0.0314159\cdots$
$\qquad\qquad\qquad +0.00314159 \cdots$
$\qquad\qquad\qquad\qquad +0.0003.14159 \cdots$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \cdots\cdots$
(5)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1-x} \, dx$を求めなさい．
私立 日本福祉大学 2013年 第1問毎秒$60 \, \mathrm{m}$の速さで真上に打ち上げられた物体の$x$秒後の高さを$y \, \mathrm{m}$とすると，
\[ y=-5x^2+60x \qquad (0 \leqq x \leqq 12) \]
の関係が成り立つ．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)この物体が達する最高地点の高さを求めよ．
(2)物体の高さが$100 \, \mathrm{m}$以下である時間の範囲を求めよ．
\[ y=-5x^2+60x \qquad (0 \leqq x \leqq 12) \]
の関係が成り立つ．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)この物体が達する最高地点の高さを求めよ．
(2)物体の高さが$100 \, \mathrm{m}$以下である時間の範囲を求めよ．
私立 愛知学院大学 2013年 第3問次の不等式を解きなさい．
\[ (\log_2 4x) \times (\log_2 8x) \leqq 12 \]
\[ (\log_2 4x) \times (\log_2 8x) \leqq 12 \]
私立 愛知学院大学 2013年 第2問曲線$C:y=x^3-tx$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^3-ta) (a<0)$における接線$\ell$が$C$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$を用いて表すと$x=[アイ]a$である．
(2)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線が直線$\mathrm{PQ}$と直交するとき$([ウ]a^2-t)([エオ]a^2-t)=-1$である．
(3)$(2)$を満たす$a$の値がただ$1$つ決まるとき，$\displaystyle t=\frac{[カ]}{[キ]}$である．
(1)点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$を用いて表すと$x=[アイ]a$である．
(2)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線が直線$\mathrm{PQ}$と直交するとき$([ウ]a^2-t)([エオ]a^2-t)=-1$である．
(3)$(2)$を満たす$a$の値がただ$1$つ決まるとき，$\displaystyle t=\frac{[カ]}{[キ]}$である．
私立 愛知学院大学 2013年 第3問$0 \leqq x<2\pi$，$0 \leqq y<2\pi$とする．
(1)方程式$\sin 2x+\sin x=0$の解は，
\[ x=0,\quad \frac{[ア]}{[イ]} \pi,\quad \pi,\quad \frac{[ウ]}{[エ]} \pi \]
である．ただし$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}<\frac{[ウ]}{[エ]}$とする．
(2)連立方程式$\sin x+\sin y=1$，$\cos x-\cos y=\sqrt{3}$の解は
\[ x=\frac{[オ]}{[カ]} \pi,\quad y=\frac{[キ]}{[ク]} \pi \]
である．
(1)方程式$\sin 2x+\sin x=0$の解は，
\[ x=0,\quad \frac{[ア]}{[イ]} \pi,\quad \pi,\quad \frac{[ウ]}{[エ]} \pi \]
である．ただし$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}<\frac{[ウ]}{[エ]}$とする．
(2)連立方程式$\sin x+\sin y=1$，$\cos x-\cos y=\sqrt{3}$の解は
\[ x=\frac{[オ]}{[カ]} \pi,\quad y=\frac{[キ]}{[ク]} \pi \]
である．
私立 愛知学院大学 2013年 第4問$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(-3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0)$，$\mathrm{C}(c,\ 0) (c>0)$がある．
(1)$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:1$となる点$\mathrm{P}$は，点$([ア],\ [イ])$を中心とする半径$[ウ]$の円を描く．
(2)$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}:\mathrm{PC}=4:2:1$となるような点$\mathrm{P}$が存在するのは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \leqq c \leqq \frac{[カ]}{[キ]}$のときである．
(1)$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:1$となる点$\mathrm{P}$は，点$([ア],\ [イ])$を中心とする半径$[ウ]$の円を描く．
(2)$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}:\mathrm{PC}=4:2:1$となるような点$\mathrm{P}$が存在するのは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \leqq c \leqq \frac{[カ]}{[キ]}$のときである．
私立 ノートルダム清心女子大学 2013年 第1問以下の問いに答えなさい．
(1)次の$2$次方程式を解きなさい．解の分母は有理化しなさい．
\[ (1+\sqrt{3})x^2+(2+\sqrt{3})x+1=0 \]
(2)$\alpha$と$\beta$は$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフと$x$軸の共有点の$x$座標であり，$\alpha<-1$と$0<\beta<1$を満たしているものとする．このとき次の式の符号を求め，その理由も示しなさい．ただし，$a<0$とする．
\[ \nagamaruichi -\frac{b}{2a} \qquad \nagamaruni b \qquad \nagamarusan c \qquad \nagamarushi b^2-4ac \qquad \nagamarugo a-b+c \qquad \nagamaruroku a+b+c \]
(3)高さ$5$メートルの像がある．これと同じ材質を用いて，像と相似形で高さ$10$センチメートルのミニチュアを作るとする．このとき次の問いに答えなさい．ただし，像もミニチュアも均質で，中に空洞はないものとする．
(i) もとの像とこのミニチュアの相似比を，最も簡単な整数の比として求めなさい．
(ii) もとの像と同じ体積の材料から何個のミニチュアを作ることができるか．ただし，材料は余すところなくすべて使えるものとする．
(iii) $(ⅱ)$でできたミニチュアすべての表面積の合計はもとの像の表面積の何倍か．
(1)次の$2$次方程式を解きなさい．解の分母は有理化しなさい．
\[ (1+\sqrt{3})x^2+(2+\sqrt{3})x+1=0 \]
(2)$\alpha$と$\beta$は$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフと$x$軸の共有点の$x$座標であり，$\alpha<-1$と$0<\beta<1$を満たしているものとする．このとき次の式の符号を求め，その理由も示しなさい．ただし，$a<0$とする．
\[ \nagamaruichi -\frac{b}{2a} \qquad \nagamaruni b \qquad \nagamarusan c \qquad \nagamarushi b^2-4ac \qquad \nagamarugo a-b+c \qquad \nagamaruroku a+b+c \]
(3)高さ$5$メートルの像がある．これと同じ材質を用いて，像と相似形で高さ$10$センチメートルのミニチュアを作るとする．このとき次の問いに答えなさい．ただし，像もミニチュアも均質で，中に空洞はないものとする．
(i) もとの像とこのミニチュアの相似比を，最も簡単な整数の比として求めなさい．
(ii) もとの像と同じ体積の材料から何個のミニチュアを作ることができるか．ただし，材料は余すところなくすべて使えるものとする．
(iii) $(ⅱ)$でできたミニチュアすべての表面積の合計はもとの像の表面積の何倍か．
私立 ノートルダム清心女子大学 2013年 第2問以下の問いに答えなさい．
(1)図の直角三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$とする．また，辺$\mathrm{BC}$を二等分する点を$\mathrm{D}$とし，$\angle \mathrm{BAD}$を$\alpha$，$\angle \mathrm{DAC}$を$\beta$とする．このとき$\sin \alpha$及び$\sin \beta$の値を求めなさい．
\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](0,42)(0,25)%
\tenretu*{A(35,23)n;B(5,5)w;C(35,5)e;D(20,5)s}%
{\thicklines
\Kakukigou\B\A\D<Hankei=12mm,moziiti=16mm>{$\alpha$}%
\Kakukigou<2>\D\A\C<Hankei=8mm,moziiti=12mm>{$\beta$}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\A\D}%
\put(33,5){\drawline(0,0)(0,2)}%
\put(33,7){\drawline(0,0)(2,0)}%
}
\tenretu*{D(36,23);E(2,3);F(36,3);G(10,5.5);H(20,2)}%
\emathPut\D{$\mathrm{A}$}
\emathPut\E{$\mathrm{B}$}
\emathPut\F{$\mathrm{C}$}
\emathPut\H{$\mathrm{D}$}
\end{zahyou*}
(2)半径$r (>0)$の円の円周の長さを$L$とし，面積を$S$とする．また，半径$r$の球の体積を$V$とする．このとき$x$についての$2$次方程式
\[ Vx^2+Sx-L=0 \]
の実数解がいくつあるか求めなさい．
(3)長さ$1$メートルの細いひもを$1$本だけ余すところなく用いて平面上に正三角形を$1$つ作ったとき，その正三角形の面積を求めなさい．また，同様にして正方形を$1$つ作ったとき，その正方形の面積を求めなさい．さらに，同様にして円を$1$つ作ったとき，その円の面積を求めなさい．ただし円周率を$\pi$とする．
(1)図の直角三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$とする．また，辺$\mathrm{BC}$を二等分する点を$\mathrm{D}$とし，$\angle \mathrm{BAD}$を$\alpha$，$\angle \mathrm{DAC}$を$\beta$とする．このとき$\sin \alpha$及び$\sin \beta$の値を求めなさい．
\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](0,42)(0,25)%
\tenretu*{A(35,23)n;B(5,5)w;C(35,5)e;D(20,5)s}%
{\thicklines
\Kakukigou\B\A\D<Hankei=12mm,moziiti=16mm>{$\alpha$}%
\Kakukigou<2>\D\A\C<Hankei=8mm,moziiti=12mm>{$\beta$}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\A\D}%
\put(33,5){\drawline(0,0)(0,2)}%
\put(33,7){\drawline(0,0)(2,0)}%
}
\tenretu*{D(36,23);E(2,3);F(36,3);G(10,5.5);H(20,2)}%
\emathPut\D{$\mathrm{A}$}
\emathPut\E{$\mathrm{B}$}
\emathPut\F{$\mathrm{C}$}
\emathPut\H{$\mathrm{D}$}
\end{zahyou*}
(2)半径$r (>0)$の円の円周の長さを$L$とし，面積を$S$とする．また，半径$r$の球の体積を$V$とする．このとき$x$についての$2$次方程式
\[ Vx^2+Sx-L=0 \]
の実数解がいくつあるか求めなさい．
(3)長さ$1$メートルの細いひもを$1$本だけ余すところなく用いて平面上に正三角形を$1$つ作ったとき，その正三角形の面積を求めなさい．また，同様にして正方形を$1$つ作ったとき，その正方形の面積を求めなさい．さらに，同様にして円を$1$つ作ったとき，その円の面積を求めなさい．ただし円周率を$\pi$とする．
私立 ノートルダム清心女子大学 2013年 第3問以下の問いに答えなさい．
(1)図のように半径$R (>0)$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$において三辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を半径$R$を用いて$\displaystyle S=\frac{G}{R}$のように表したとき，$G$を各辺の長さ$a,\ b,\ c$を用いて表わしなさい．
\begin{zahyou*}[ul=2mm](-12,12)(-12,12)%
\tenretu*{O(0,0);A(5,8.6);B(-8.6,-5);C(9.5,-3)e;D(20,5)s}%
{\thicklines
\En\O{10}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
}
\tenretu*{D(5,9.3);E(-11,-6);F(10.5,-4);G(0,-5.6);H(5.8,1);I(-3.1,2.7)}%
\emathPut\D{$\mathrm{A}$}
\emathPut\E{$\mathrm{B}$}
\emathPut\F{$\mathrm{C}$}
\emathPut\G{$a$}
\emathPut\H{$b$}
\emathPut\I{$c$}
\end{zahyou*}
(2)図のように一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$の各頂点から$x$だけ離れた各辺上に点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$がある．このとき次の設問に答えなさい．ただし，$0 \leqq x \leqq 1$とする．
\begin{zahyou*}[ul=2mm](-12,12)(-14,15)%
\tenretu*{O(0,0);A(-10,10);B(-10,-10);C(10,-10);D(10,10);P(-10,6);Q(-6,-10);R(10,-6);S(6,10)}%
{\thicklines
\Drawline{\A\B\C\D\A}%
\Drawline{\P\Q\R\S\P}%
}
\HenKo<henkoH=2mm>\A\P{}
\HenKo<henkoH=2mm>\B\Q{}
\HenKo<henkoH=2mm>\C\R{}
\HenKo<henkoH=2mm>\D\S{}
\tenretu*{A(-11,11);B(-12.5,-10);C(10,-12);D(11,10);P(-12,4.5);Q(-6,-12);R(11,-6);S(5,11)}%
\emathPut\A{$\mathrm{A}$}
\emathPut\B{$\mathrm{B}$}
\emathPut\C{$\mathrm{C}$}
\emathPut\D{$\mathrm{D}$}
\emathPut\P{$\mathrm{P}$}
\emathPut\Q{$\mathrm{Q}$}
\emathPut\R{$\mathrm{R}$}
\emathPut\S{$\mathrm{S}$}
\tenretu*{X(-12.8,7.7);Y(-8.8,-12.7);Z(11.5,-8.7);W(7.5,11.5)}%
\emathPut\X{$x$}
\emathPut\Y{$x$}
\emathPut\Z{$x$}
\emathPut\W{$x$}
\end{zahyou*}
(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$の面積$W$を求めなさい．
(ii) $W$が最小となるときの$x$の値を求めなさい．また，そのときの$W$の値も求めなさい．
(1)図のように半径$R (>0)$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$において三辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を半径$R$を用いて$\displaystyle S=\frac{G}{R}$のように表したとき，$G$を各辺の長さ$a,\ b,\ c$を用いて表わしなさい．
\begin{zahyou*}[ul=2mm](-12,12)(-12,12)%
\tenretu*{O(0,0);A(5,8.6);B(-8.6,-5);C(9.5,-3)e;D(20,5)s}%
{\thicklines
\En\O{10}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
}
\tenretu*{D(5,9.3);E(-11,-6);F(10.5,-4);G(0,-5.6);H(5.8,1);I(-3.1,2.7)}%
\emathPut\D{$\mathrm{A}$}
\emathPut\E{$\mathrm{B}$}
\emathPut\F{$\mathrm{C}$}
\emathPut\G{$a$}
\emathPut\H{$b$}
\emathPut\I{$c$}
\end{zahyou*}
(2)図のように一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$の各頂点から$x$だけ離れた各辺上に点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$がある．このとき次の設問に答えなさい．ただし，$0 \leqq x \leqq 1$とする．
\begin{zahyou*}[ul=2mm](-12,12)(-14,15)%
\tenretu*{O(0,0);A(-10,10);B(-10,-10);C(10,-10);D(10,10);P(-10,6);Q(-6,-10);R(10,-6);S(6,10)}%
{\thicklines
\Drawline{\A\B\C\D\A}%
\Drawline{\P\Q\R\S\P}%
}
\HenKo<henkoH=2mm>\A\P{}
\HenKo<henkoH=2mm>\B\Q{}
\HenKo<henkoH=2mm>\C\R{}
\HenKo<henkoH=2mm>\D\S{}
\tenretu*{A(-11,11);B(-12.5,-10);C(10,-12);D(11,10);P(-12,4.5);Q(-6,-12);R(11,-6);S(5,11)}%
\emathPut\A{$\mathrm{A}$}
\emathPut\B{$\mathrm{B}$}
\emathPut\C{$\mathrm{C}$}
\emathPut\D{$\mathrm{D}$}
\emathPut\P{$\mathrm{P}$}
\emathPut\Q{$\mathrm{Q}$}
\emathPut\R{$\mathrm{R}$}
\emathPut\S{$\mathrm{S}$}
\tenretu*{X(-12.8,7.7);Y(-8.8,-12.7);Z(11.5,-8.7);W(7.5,11.5)}%
\emathPut\X{$x$}
\emathPut\Y{$x$}
\emathPut\Z{$x$}
\emathPut\W{$x$}
\end{zahyou*}
(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$の面積$W$を求めなさい．
(ii) $W$が最小となるときの$x$の値を求めなさい．また，そのときの$W$の値も求めなさい．
公立 県立広島大学 2013年 第1問実数$a$に対して$n \leqq a<n+1$を満たす整数$n$を記号$[a]$で表す．次の問いに答えよ．
(1)$[-3.1]$を求めよ．
(2)$[\sqrt{800}]=10x$となる$x$を求めよ．
(3)$[19x-1]=10x$となる$x$を求めよ．
(4)$[x^2+6x-4]=10x$となるすべての$x$を求めよ．
(1)$[-3.1]$を求めよ．
(2)$[\sqrt{800}]=10x$となる$x$を求めよ．
(3)$[19x-1]=10x$となる$x$を求めよ．
(4)$[x^2+6x-4]=10x$となるすべての$x$を求めよ．