$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，図のように$\mathrm{AW}=\mathrm{BX}=\mathrm{CY}=\mathrm{DZ}$となる点$\mathrm{W}$，$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$をとる．四角形$\mathrm{WXYZ}$に内接する円を$C_0$とし，$\triangle \mathrm{AWZ}$，$\triangle \mathrm{BXW}$，$\triangle \mathrm{CYX}$，$\triangle \mathrm{DZY}$に内接する円をそれぞれ$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$とする．$\mathrm{AW}=x$，$\mathrm{ZW}=a$とおくとき
\[ a^2=[セ]x^2+[ソ]x+1 \quad (0<x<1) \]
となる．円$C_0$，$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$の面積の総和を$S$とすると
\[ S=\frac{\pi}{4} \left( [タ]a^2+[チ]a+[ツ] \right) \]
となり，$\displaystyle a=\frac{[ト]}{[テ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle \frac{\pi}{[ナ]}$をとる．
（図は省略）

次の空欄$[ア],\ [イ]$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄$[ウ]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)ある自然数$n$について，命題「$n$が偶数ならば$n^2$は偶数である」の逆は$[ア]$，対偶は$[イ]$である．
(2)$3$次方程式$x^3+2x^2-8x-21=0$の解は$x=[ウ],\ [エ],\ [オ]$である．
(3)${(2x+\cos \theta)}^3$を展開したときの$x^2$の係数が$-6$のとき，$\theta=[カ]$である．ただし，$0 \leqq \theta<\pi$とする．
(4)$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+2k^2=0$が実数解をもつような実数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(5)不等式$-1+2 \log_2 (x+1)>\log_{\frac{1}{2}}(2-x)$を満たす$x$の値の範囲は$[ク]$である．
(6)$\mathrm{A}$君が徒歩と自転車で移動した．スタート地点から途中まで分速$80 \, \mathrm{m}$で$30$分歩き，その後自転車に乗って$10$分進んでゴールに着いたところ，平均の速さは分速$130 \, \mathrm{m}$であった．このときの自転車の速さは分速$[ケ] \, \mathrm{m}$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x,\ y,\ -1)$の大きさが等しく，なす角が${60}^\circ$のとき，$x$の値は$[コ]$，$[サ]$である．
(8)数列$1,\ 11,\ 111,\ 1111,\ 11111,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと，$[シ]$となる．

次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$10$項までの和が$-8$，初項から第$21$項までの和が$14$である．この数列の初項$a_1$は$[ア]$で，公差は$[イ]$である．
(2)$2 \log_3 4+\log_9 5-\log_3 8=\log_3 x$の解は$x=[ウ]$である．

(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$のとき，$x^3+y^3$の値は$[エ]$である．

(4)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$となる自然数の組$(x,\ y)$で$x \geqq y$を満たすものをすべてあげると$(x,\ y)=[オ]$である．
(5)正の数$k$と角$\theta$に対して，$\sin \theta,\ \cos \theta$が$2$次方程式$5x^2-kx+2=0$の解となるような$k$の値は$[カ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{\sqrt{2}}=\frac{\sin B}{2}=\frac{\sin C}{1+\sqrt{3}}$であるとき，$\cos C$の値は$[キ]$である．
(7)整式$P(x)$を$2x^2+9x-5$で割ると余りが$3x+5$であり，$x-2$で割ると余りが$-3$であるとき，$P(x)$を$x^2+3x-10$で割ると，余りは$[ク]$である．
(8)座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(-1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{D}(x,\ y,\ z)$がある．これら$4$点が同一平面上にあり，かつこれらを頂点とする四角形がひし形であるのは，$(x,\ y,\ z)=[ケ]$のときである．

関数$F(x)$を次のように定める．
\[ F(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
x^2 & (x \leqq 1) \\
-x^2+2x & (x>1) \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
実数$k$が$0<k<1$を満たすとき，次の問に答えよ．

(1)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$の交点のうち，原点とは異なるものをすべて求めよ．
(2)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$で囲まれた$2$つの部分のうち，直線$y=kx$の下側にある部分の面積$S_1$を$k$を用いて表せ．
(3)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$で囲まれた$2$つの部分のうち，直線$y=kx$の上側にある部分の面積$S_2$を$k$を用いて表せ．
(4)$(2)$で求めた$S_1$と$(3)$で求めた$S_2$の和$S=S_1+S_2$が最小となるときの$k$の値を求めよ．

以下の各問で，$[　]$にあてはまる数値または記号を求めよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx+c$が$3$点$(-3,\ -15)$，$(0,\ -24)$，$(3,\ 21)$を通るとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=-[ウ][エ] \]
であり，この放物線と$x$軸との交点は$(-[オ],\ 0)$，$([カ],\ 0)$である．
(2)点$\mathrm{O}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心とする．$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{ABO}={35}^\circ$のとき，
\[ \angle \mathrm{ACO}={[キ][ク]}^\circ,\quad \angle \mathrm{BOC}={[ケ][コ][サ]}^\circ \]
である．
(3)関数$\displaystyle y=\frac{1}{3} {\left( \frac{1}{8} \right)}^x-2 {\left( \frac{1}{4} \right)}^x+3 {\left( \frac{1}{2} \right)}^x+1 (x>-2)$は


$x=[シ]$で最大値$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$


をとり，

$x=-\log_2 [ソ]$で最小値$[タ]$

をとる．
(4)条件$a_1=0$，$\displaystyle a_n=a_{n-1}+\frac{n-1}{2013} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$において，$a_n \geqq 1$を満たす最小の$n$は$[チ][ツ]$であり，
\[ a_{[チ][ツ]}=\frac{[テ][ト][ナ]}{[ニ][ヌ][ネ]} \]
である．

媒介変数表示$\left\{ \begin{array}{l}
x=\theta-\sin \theta \\
y=\cos \theta
\end{array} \right. (0<\theta<2\pi)$で表される曲線$C$について，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$\theta$の関数で表せ．
(2)曲線$C$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)数列$\{a_n\}$が関係式
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n}{(3n+1)a_n+n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，$\displaystyle a_{200}=\frac{[ア]}{[イウエ]}$である．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$かつ$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{8}$のとき，$\displaystyle \sin \frac{3 \theta}{2}=\frac{[オ] \sqrt{[カ]}}{[キク]}$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1+4x}{1+\sqrt{x}} (x \geqq 0)$を考える．

(1)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ア]}{[イ]}-\sqrt{[ウ]}$のとき最小値$[エ] \sqrt{[オ]}-[カ]$をとる．
(2)座標平面上の曲線$C:y=f(x) (x \geqq 0)$と$x$軸，$y$軸および直線$x=1$とで囲まれた部分の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[キク]}{[ケ]}-[コサ] \log 2 \]
である．ただし，対数は自然対数とする．

次の各問いに答えなさい．

(1)$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解しなさい．
(2)$\perm{n}{r}=[　] \times \perm{n-1}{r-1}$が成り立つとき，$[　]$にあてはまる文字を求めなさい．
(3)$a_1=5,\ a_{n+1}=3a_n-2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．
(4)$\displaystyle y=x+\frac{7}{x+2} (x>0)$の最小値を求めなさい．
(5)$a>0,\ a \neq 1,\ xyz \neq 0$とする．$2^x=3^y=a^z$と$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$が成り立つとき，$a$の値を求めなさい．

関数$y=4 \cos^3 x+3 \sin^2 x-6 \cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について以下の問いに答えなさい．

(1)$\cos x=t$とおくとき，$y=4 \cos^3 x+3 \sin^2 x-6 \cos x$を$t$の関数として表しなさい．
(2)$t$の取り得る範囲を求めなさい．
(3)$y=4 \cos^3 x+3 \sin^2 x-6 \cos x$の最大値と最小値を求めなさい．またそのときの$x$の値も求めなさい．