直線$x+y=1$に接する楕円
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>0,\ b>0) \]
を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．

$\displaystyle a^2=\frac{[ヌ]}{[ニ]},\ b^2=\frac{[ネ]}{[ニ]}$のとき，$V$は最大値$\displaystyle \frac{[ハ] \sqrt{3} \pi}{[ノ]}$をとる．

平面上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$に対して，点$\mathrm{Q}(x,\ y)$を以下のように定める．
\[ \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
0 & 2 \\
\sqrt{3} & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array} \right) \]
$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，次の問に答えよ．

(1)すべての点$\mathrm{Q}(x,\ y)$に対して，$ax^2+bxy+y^2$の値が$\theta$によらず一定であるとき，定数$a,\ b$の値は$a=[ヒ]$，$b=[フ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の距離の$2$乗の最小値は$[ヘ]$，最大値は$[ホ]$である．

弓道部の$\mathrm{A}$君が矢を射るとき，矢が的に命中する確率を$a (0<a<1)$とする．$n$を自然数とし，$m$を$0 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．$\mathrm{A}$君が矢を$n$回射るとき，ちょうど$m$回命中する確率を$p(m,\ n)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$p(1,\ 3)$を$a$の式で表せ．
(2)$p(7,\ 9)$を$a$の式で表せ．
(3)ある自然数$x,\ y (x \leqq y)$について$p(x-1,\ y)=p(x,\ y)$であるとき，$a$の値を$x,\ y$の式で表せ．

$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，図のように$\mathrm{AW}=\mathrm{BX}=\mathrm{CY}=\mathrm{DZ}$となる点$\mathrm{W}$，$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$をとる．四角形$\mathrm{WXYZ}$に内接する円を$C_0$とし，$\triangle \mathrm{AWZ}$，$\triangle \mathrm{BXW}$，$\triangle \mathrm{CYX}$，$\triangle \mathrm{DZY}$に内接する円をそれぞれ$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$とする．$\mathrm{AW}=x$，$\mathrm{ZW}=a$とおくとき
\[ a^2=[セ]x^2+[ソ]x+1 \quad (0<x<1) \]
となる．円$C_0$，$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$の面積の総和を$S$とすると
\[ S=\frac{\pi}{4} \left( [タ]a^2+[チ]a+[ツ] \right) \]
となり，$\displaystyle a=\frac{[ト]}{[テ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle \frac{\pi}{[ナ]}$をとる．
（図は省略）

座標平面上に放物線$C:y=ax^2+1$がある．放物線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．ただし，$a>0$，$p>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a,\ p$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$，放物線$C$，および$y$軸で囲まれる部分の面積$S$を$a,\ p$を用いて表せ．
(3)直線$\ell$と原点との距離が$1$のとき，$S$を$a$を用いて表せ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，点$\mathrm{B}(0,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}(x,\ y)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=0$を満たしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PA}$の長さが$\sqrt{2}$となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x>0$，$y=1$であるとき，$\angle \mathrm{AMP}$を求めよ．

座標平面上に曲線$C:y=x^2 (x \geqq 0)$がある．この曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における接線を$\ell$，点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$に垂直な直線を$m$とする．ただし，$t>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)曲線$C$，直線$\ell$，$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)直線$m$の方程式を$t$を用いて表せ．
(4)曲線$C$，直線$m$，$y$軸で囲まれた部分の面積を$T$とする．$T$を$t$を用いて表せ．
(5)$S:T=1:9$となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる数または数式を記入せよ．

(1)$a,\ b$は定数で，$x$についての整式$x^3+ax+b$は${(x+1)}^2$で割り切れるとする．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$である．
(2)$5$個の自然数の組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5)$で，
\[ a_1=1,\quad a_n+1 \leqq a_{n+1} \leqq a_n+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ 4) \]
を満たすものは全部で$[　]$組ある．
(3)$3$次関数$f(x)$は$x=1$と$x=2$で極値をとり，曲線$y=f(x)$と曲線$\displaystyle y=\frac{3x}{2 \sqrt{x^2+1}}+1$は点$(0,\ 1)$において共通の接線を持つとする．このとき，$f(x)=[　]$である．
(4)ある花の$1$個の球根が$1$年後に$3$個，$2$個，$1$個，$0$個（消滅）になる確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{3}{10}$，$\displaystyle \frac{2}{5}$，$\displaystyle \frac{1}{5}$，$\displaystyle \frac{1}{10}$であるとする．$1$個の球根が$2$年後に$2$個になっている確率は$[　]$である．

空間内に平面$P$がある．空間内の図形$A$に対し，$A$の各点から$P$に下ろした垂線と$P$との交点の全体を，$A$の$P$への正射影とよぶ．次の問に答えよ．

(1)平面$Q$が平面$P$と角$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$で交わっているとする．すなわち，$P$と$Q$の交線に垂直な平面で$P,\ Q$を切ってできる$2$直線のなす角が$\theta$であるとする．$Q$上の長さ$1$の線分の$P$への正射影の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2)$(1)$の$Q$を考える．$Q$上の$1$辺の長さが$1$である正三角形の$P$への正射影の面積を求めよ．
(3)$1$辺の長さが$1$である正四面体$T$の$P$への正射影$T^\prime$はどんな形か．また，$T^\prime$の面積の最大値を求めよ．

$2$つの曲線$y=x^3-x \cdots\cdots①$および$y={(x-a)}^3-(x-a) \cdots\cdots②$がある．ただし，$a>0$とする．次の問に答えよ．

(1)$②$が$x=x_1$で極大値，$x=x_2$で極小値をとり，$x=x_1,\ x_2$における曲線$②$上の点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(2)曲線$①,\ ②$が異なる$2$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$のとき，曲線$①,\ ②$の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\beta-\alpha$を$a$を用いて表せ．
(4)$(2)$のとき，曲線$①,\ ②$で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．