座標平面において$\displaystyle y=\frac{3}{4}x$，$0 \leqq x \leqq 100$で定まる線分を$L$とする．

(1)$L$上の点で$x$座標，$y$座標がともに整数であるものは何個あるか．
(2)整数$a,\ b$を用いて$a-1 \leqq x \leqq a$，$b-1 \leqq y \leqq b$で表される正方形のうち，$L$と共有点を持つものは何個あるか．

座標平面において点$\mathrm{C}(1,\ 1)$を中心とする半径$1$の円と曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$の$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，その$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする．ただし$0<\alpha<\beta$とする．

(1)$\alpha+\beta$および$\alpha \beta$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{ACB}$を求めよ．

座標空間における点$\mathrm{A}(2,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ -1)$に対し，以下の設問に答えよ．ただし$\mathrm{O}$は原点を表す．

(1)$\cos \angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$の範囲にある点$\mathrm{C}(x,\ y,\ z)$で，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方と直交し，かつ$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=5$となるものを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

$1 \leqq x \leqq 4$のとき，関数
\[ y=(\log_2 x)^3-\log_2 x^3+1 \]
の最大値，最小値と，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)初項$1$，公比$2$の等比数列の初項から第$10$項までの和は$\kakkofour{ア}{イ}{ウ}{エ}$である．
(2)直線$x+2y+3=0$に垂直で点$(1,\ 3)$を通る直線の傾きを$m$，$y$切片を$b$とするとき
\[ m=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(3)$2$次方程式$3x^2-(3 \sqrt{2}+2)x+3 \sqrt{2}-1=0$の解は
\[ x=[キ],\quad \frac{[ク] \sqrt{[ケ]}-[コ]}{[サ]} \]
である．
(4)不等式$|2x-5| \leqq 4$の解は
\[ \frac{[シ]}{[ス]} \leqq x \leqq \frac{[セ]}{[ソ]} \]
である．
(5)曲線$y=x^3$の$x=2$における接線は，$y=[タチ]x-[ツテ]$である．
(6)$\overrightarrow{a}=(2,\ 0)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 1)$のとき，
\[ |\overrightarrow{a}|=[ト],\quad |\overrightarrow{b}|=\sqrt{[ナ]},\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ニ] \]
である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)方程式$9 \sin x-2 \cos^2 x-3=0 (0<x<\pi)$は
\[ [ア] \sin^2 x+[イ] \sin x-[ウ]=0 \]
となるから，解は$\displaystyle x=\frac{[エ]}{[オ]}\pi,\ \frac{[カ]}{[キ]}\pi$である．
(2)$a>0$，$b>0$のとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の最小値は$[ク]$で，$\displaystyle \left( a+\frac{2}{b} \right) \left( b+\frac{8}{a} \right)$の最小値は$[ケコ]$である．
(3)同じ大きさの白玉$6$個と赤玉$4$個が袋の中に入っている．この袋の中から同時に$3$個の玉をとりだして目印をつけてから袋にもどし，再び袋の中から$1$個の玉をとりだす．$2$回目にとりだされた玉が目印のついた白玉である確率は
\[ \frac{[サ]}{[シス]} \]
である．
(4)実数$x,\ y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき，$2x+3y$の最大値は$\sqrt{[セソ]}$である．
(5)$x^{99}+x^{49}+1$を$x^2-1$で割った余りは，$[タ]x+[チ]$である．
(6)$2$つの方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x^2+(2a+5)x+5a=0 \\
2x^2+3ax+16=0
\end{array} \right. \]
が共通の解をもてば，$a=[ツテ]$または$\displaystyle a=\frac{[トナ]}{[ニ]}$である．

$0 \leqq x \leqq 2\pi$で連続な関数$f(x)$が
\[ f(x)=\cos x \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(y) \sin y \, dy+\sin x \]
をみたすとき，$f(x)$を求めよ．

$\theta$についての方程式
\[ \sin^2 \theta (\sin \theta+1)=k \cdots\cdots① \]
を考える．

(1)$①$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲でただ$1$つの解をもつような定数$k$の値の範囲は
\[ \frac{[ア]}{[イ][ウ]}<k \leqq [エ] \]
である．
(2)$①$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で異なる$2$つの解をもつような定数$k$の値の範囲は
\[ [オ]<k \leqq \frac{[カ]}{[キ]} \]
である．

$10$円硬貨$3$枚と$100$円硬貨$3$枚を同時に投げて，表の出た$10$円硬貨の枚数を$X$，表の出た$100$円硬貨の枚数を$Y$とし，$X$と$Y$の大きい方を$Z$とする．ただし，$X$と$Y$が等しいときは$Z=X$とする．

(1)$X \leqq 1$である確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(2)$Z \leqq 1$である確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

(3)$Z=3$である確率は$\displaystyle \frac{[シ][ス]}{[セ][ソ]}$である．

(4)$Z$の期待値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ][テ]}$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(a,\ b,\ 0)$がある．線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\displaystyle t=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}}$とする．このとき，$0 \leqq t \leqq 1$である．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OA}$上を動くとき，線分$\mathrm{PB}$の長さの最小値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた最小値が$1$となるような点$(a,\ b)$全体が作る図形を，座標平面上に図示せよ．