次の問いに答えよ．

(1)$x$についての$2$次式$P(x)$を$x+1$で割ると，商が$x-a$であり，余りが$b$であるとする．ただし，$b$は$0$ではないとする．

(i) $2$次方程式$P(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつための必要十分条件は，
$(a+[ア])^2>[イ]b$である．
(ii) $P(a)=P(-a)$を満たす$a$の値は$2$つあり，小さい順に，$[ウ]$，$[エ]$である．
(iii) $P(a+b)=P(a-b)$を満たすとき，$a=[オカ]$である．

(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個が入っている．この袋から玉を$1$個取り出し，それを戻すと同時に，その玉と同じ色の玉を$1$個加える．このような操作を$3$回繰り返す．操作が終わったときに，袋の中の赤玉と白玉が同数になっている確率は，$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$であり，白玉が赤玉より$2$個多くなっている確率は，$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と直線$\ell:y=-2x+a$を考える．ただし，$a$は定数とする．

(1)$C$と$\ell$が$2$個の共有点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は，$a>[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)$(1)$の条件のもとで，$C$と$\ell$の共有点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．

(i) $\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とすると
\[ \alpha+\beta=\frac{a}{[ウ]},\quad \beta-\alpha=\frac{\sqrt{a^2-[エ]}}{[オ]},\quad \alpha\beta=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．
(ii) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{a \sqrt{a^2-[ク]}}{[ケ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{PQ}$の長さが$5$であるとき，$a=[コ] \sqrt{[サ]}$であり，このとき$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積は
\[ \sqrt{[シス]}+\log ([セ]-\sqrt{[ソタ]}) \]
である．

以下の各問いに答えなさい．

(1)以下の図において$\overline{A \cap B}$の部分を塗りつぶしなさい．
（図は省略）
(2)$A=\{2x \;|\; 1 \leqq x \leqq 10,\ x \text{は自然数} \}$，$B=\{3y \;|\; 1 \leqq y \leqq 10,\ y \text{は自然数} \}$のとき，$A \cap B$の要素をすべて答えなさい．
(3)命題「$x^2-1=0 \Longrightarrow x=1$または$x=-1$」の対偶を答えなさい．
(4)次の表中$①$～$⑤$（ \quad ）内に，命題「$p \Longrightarrow q$」が成立するように，次の（ア）～（ケ）から適切なものを \underline{すべて} 選び記号で答えなさい．

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$p$ & $q$ \\ \hline
犬である． & $①$（ \qquad ） \\ \hline
宜野湾市である． & $②$（ \qquad ） \\ \hline
$x=5$ & $③$（ \qquad ） \\ \hline
$④$ （ \qquad ） & ほ乳類である． \\ \hline
$⑤$ （ \qquad ） & $x=-2$または$x=3$ \\ \hline
\end{tabular}

\begin{screen}
（ア） $x$は偶数である． \quad （イ） $x$は$2$の倍数である． \quad （ウ） $0<x<10$ \\
（エ） 動物である． \quad （オ） 沖縄県である． \quad （カ） 人間である． \\
（キ） $|x| \geqq 5$ \quad （ク） $x^2-x-6=0$ \quad （ケ） $x^2-x+6=0$
\end{screen}
(5)$x+y=2$ならば$x \leqq 1$または$y \leqq 1$であることを背理法によって証明しなさい．

関数$\displaystyle f_n(x)=\frac{1}{x(1+x)^n} (-1<x<0)$とおく．ただし，$n$は正の整数とし，$C$は積分定数とする．

(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)=[ア]$である．
(2)関数$f_n(x)$は$x=[イ]$において極値をとる．

(3)$\displaystyle \int f_1(x) \, dx=[ウ]+C$である．

(4)$\displaystyle \int f_{n+1}(x) \, dx-\int f_n(x) \, dx=[エ]+C$である．

(5)$\displaystyle \int f_3(x) \, dx=[オ]+C$である．

次の問いに答えよ．

(1)$3+\sqrt{2}$の小数部分を$a$とするとき，次の計算をせよ．

(i) $\displaystyle a+\frac{1}{a}=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(ii) $\displaystyle a^3-\frac{1}{a^3}=[ウエオ]$である．

(2)方程式$8 \cdot 4^x-129 \cdot 2^x+16=0$の解は$x=[カキ]$と$x=[ク]$である．
(3)$3$点$(0,\ 0)$，$(\cos {30}^\circ,\ \sin {30}^\circ)$，$(\sqrt{2} \cos \alpha,\ \sqrt{2} \sin \alpha)$を頂点とする三角形の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとき$\alpha$の値は$[ケコ]^\circ$である．ただし${30}^\circ<\alpha \leqq {90}^\circ$とする．
(4)点$\mathrm{P}$が$xy$平面の原点$\mathrm{O}$にある．コインを投げ，表が出たならば点$\mathrm{P}$を$x$軸方向に$1$だけ動かし，裏が出たならば点$\mathrm{P}$を$y$軸方向に$1$だけ動かす．コインを$5$回投げたときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$とする．

(i) $x$の最大値は$[サ]$，最小値は$[シ]$である．
(ii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる場合の数は$[スセ]$通りである．

(iii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる確率は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$である．

関数$f(x)=|x^2-2x-3|$と，曲線$C:y=f(x)$，直線$\ell:y=x+1$について考える．

(1)曲線$C$と$x$軸との交点の$x$座標は，小さい順に$[アイ]$，$[ウ]$である．
(2)関数$f(x)$の$-2 \leqq x \leqq 2$における最大値は$[エ]$であり，最小値は$[オ]$である．
(3)曲線$C$と$x$軸により囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}$である．

(4)曲線$C$と直線$\ell$との交点の$x$座標は，小さい順に$[ケコ]$，$[サ]$，$[シ]$である．

(5)曲線$C$と直線$\ell$により囲まれた$2$つの部分の面積の和は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[ソ]}$である．

$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$で表される放物線$P$と，$x^2+(y-k)^2=r^2 (r>0)$で表される円$Q$がある．放物線$P$上に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1,\ \frac{1}{2} \right)$をとるとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$における放物線$P$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で円$Q$に接するとき，$k$と$r$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$k$と$r$において，次の連立不等式が表す領域の面積を求めよ．
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
x^2+(y-k)^2 \geqq r^2 \\
y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.4}

$2$つの放物線$C_1:y=x^2-2x-a$と$C_2:y=-x^2-2x+a$について，次の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の$2$つの共有点を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle S=\frac{9}{2}$となるとき，$a$の値を定めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において定義された$2$つの曲線
\[ y=a \sin 2x,\quad y=\sin 4x \]
について次の問いに答えなさい．ただし，$a$は定数である．

(1)$2$つの曲線が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$で交点を持つように$a$の値の範囲を定めなさい．
(2)$a$が$(1)$で定められた範囲にあるとき，$2$つの曲線によって囲まれた図形は$(1)$の交点を境にして$2$つの部分に分けられる．それらのうち原点を含む部分の面積を$S_1$，原点を含まない部分の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=4:1$となるように$a$の値を定めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$x$についての不等式$\displaystyle \frac{2x-a}{3}<\frac{x-3}{2}$をみたす最大の整数が$3$となるような実数の定数$a$がとり得る値の範囲を次の$①$～$⑤$から選ぶと$[ア]$である．
\[ ① 6<a \quad ② 6 \leqq a \quad ③ 6<a<\frac{13}{2} \quad ④ 6 \leqq a<\frac{13}{2} \quad ⑤ 6<a \leqq \frac{13}{2} \]
(2)$1000$以下の自然数で，$3$または$5$で割りきれる数は$[イ][ウ][エ]$個であり，そのうち偶数でないものは$[オ][カ][キ]$個ある．
(3)$2$つの方程式$x^2-2ax+2a^2+a-2=0$と$x^2+(2a+2)x-a+1=0$がともに実数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[ク] \leqq a \leqq [ケ]$である．
(4)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．関数$y=4 \sin x+3 \cos x$の最小値は$[コ]$であり，$y$の最大値を与える$x$の値を$\theta$とすると，$\displaystyle \sin 2\theta=\frac{[サ][シ]}{[ス][セ]}$である．
(5)$x$の関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=\int_0^1 xtf(t) \, dt+2$を満たすとき，$\displaystyle f(x)=\frac{[ソ]}{[タ]}x+[チ]$である．