関数$f(x)=2x^3-3x^2-12x$の区間$-2 \leqq x \leqq 1$での最大値は$x=[　]$のとき$[　]$であり，最小値は$x=[　]$のとき$[　]$である．また，区間$-2 \leqq x \leqq 4$のとき，$f(x)$の最大値から最小値を引いた値は$[　]$である．

$\displaystyle f(x)=\frac{\cos 5x}{\cos x} \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とする．

(1)$\cos 4x=a \cos^2 2x+b$をみたす定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$\cos 4x=l \cos^4 x+m \cos^2 x+n$をみたす定数$l,\ m,\ n$の値を求めよ．
(3)$\sin 4x \sin x=(p \cos^4 x+q \cos^2 x+r) \cos x$をみたす定数$p,\ q,\ r$の値を求めよ．
(4)$f(x)$の最小値を求めよ．

$x \geqq 1$の実数$x$に対し，方程式
\[ f(x)=(\log_e x)^2-\int_1^e \frac{f(t)}{t} \, dt \]
を満たす関数$f(x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_1^e \frac{(\log_e t)^2}{t} \, dt=\frac{[ア]}{[イ]}$であることに注意すると，
\[ f(x)=(\log_e x)^2-\frac{[ウ]}{[エ]} \]
となる．また，曲線$y=f(x)$の変曲点の$y$座標の値は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(2)点$(e,\ f(e))$における$y=f(x)$の接線の方程式は
\[ y=[キ] e^{[クケ]} x-\frac{[コ]}{[サ]} \]
である．この接線と曲線$y=f(x)$および直線$x=1$で囲まれた図形の面積は
\[ [シス]+\frac{1}{e} \left( [セ]+e^{[ソ]} \right) \]
である．

$0<a<2$とする．$x \geqq 0$のとき$f(x)=x^3$，$x<0$のとき$f(x)=x^2+2x$とする．

(1)曲線$y=f(x)$と直線$y=ax$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x) (x \geqq 0)$と直線$y=ax$で囲まれる部分の面積$S(a)$を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=ax$で囲まれる$2$つの部分の面積の和$T(a)$を求めよ．
(4)$T(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

定義域を$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする関数$f(x)=|\sin 2x-2 \sin x-2 \cos x+1|$がある．$t=\sin x+\cos x$とおき，$f(x)$を$t$で表した関数を$g(t)$とおく．

(1)関数$g(t)$を求めよ．
(2)$t$が取りうる値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が取りうる値の範囲を求めよ．
(4)方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数$l$を$k$の値で場合分けして求めよ．

以下の各問いに答えなさい．

(1)関数$y=(x+1)(3-x)$のグラフの頂点の座標を求めなさい．
(2)頂点の座標が点$(-2,\ 1)$で，点$(-3,\ -1)$を通る$2$次関数を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$-2$だけ平行移動するとき，$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフになるとする．この定数$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(4)$a$を正の定数とする．$2$次関数$y=ax^2+2ax+b$は，区間$-1 \leqq x \leqq 0$における最大値が$2$，最小値が$-2$とする．このとき，定数$a,\ b$の値を求めなさい．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が点$(5,\ 8)$を通るとすると，$b=-[　] a-[][]$である．さらに，$C$の頂点が$y$軸上にあるとき$a=[　]$，$b=-[][]$であり，$C$の頂点が$x$軸上にあるとき$a=-[][] \pm [　] \sqrt{[　]}$である．
(2)$2a^2-ab-15b^2=([　] a+[　] b)(a-[　] b)$である．$a=3 \sqrt{6}+5 \sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}-2 \sqrt{2}$のとき，$2a^2-ab-15b^2=[][][] \sqrt{[　]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=3$とするとき，$\displaystyle \cos A=-\frac{[　]}{[][]}$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　] \sqrt{[][]}$である．さらに，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{[　] \sqrt{[][]}}{[　]}$である．
(4)$1$から$20$までの整数の中から異なる$2$個の整数$a,\ b (a<b)$を選ぶとき，$a,\ b$の積が奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない選び方は$[][]$通りある．また，$a,\ b$の積が$3$の倍数でない奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない偶数になる選び方は$[][]$通りある．

次の問いに答えなさい．

(1)$2$次方程式$x^2+x+p=0$の$2$解$\alpha,\ \beta$に対して$\alpha^2-\beta^2=3$となるとき，$p=[　]$である．
(2)$xy$座標平面上で，$x$座標と$y$座標がいずれも整数である点を格子点という．$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x+2y \leqq 100$を同時に満たす格子点の個数は$[　]$である．
(3)関数$f(x)=a(\log_3 x)^2+\log_9 bx$が，$\displaystyle x=\frac{1}{3}$で最小値$\displaystyle \frac{1}{4}$をとるとき，$(a,\ b)=[　]$である．
(4)関数$\displaystyle y=2 \sin \left( 2x+\frac{\pi}{2} \right)$のグラフを描きなさい．
(5)表と裏が等確率で出るコインを$n$回投げ，表が出る回数が$0$回ならば$0$点，$1$回ならば$x$点，$2$回以上ならば$y$点とするゲームを考え，その点数の期待値を$E_n$とする．$n \geqq 2$の$n$に対して，不等式$E_n \geqq y$が$n$によらずに成り立つとき，$x$と$y$の間の関係を調べなさい．ただし，$x$と$y$は正とする．

次の問いに答えなさい．

$xy$座標平面上に$3$点$\mathrm{P}(-\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ 3)$，$\mathrm{R}(\sqrt{3},\ 0)$がある．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線を$C$とし，また同じ$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円を$D$とする．

(1)$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき，$f(x)=[　]$である．
(2)$D$は，中心の座標が$[　]$，半径が$[　]$である．
(3)$D$の内部で$y \geqq f(x)$を満たす部分の面積は$[　]$である．
(4)$C$の接線$\ell$が$D$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めなさい．
(5)$C$を$y$軸方向に$p$だけ平行移動した曲線が$D$と共通点をもつとき，$p$は$[　]$の範囲にある．

次の問いに答えよ．

(1)$x$についての$2$次式$P(x)$を$x+1$で割ると，商が$x-a$であり，余りが$b$であるとする．ただし，$b$は$0$ではないとする．

(i) $2$次方程式$P(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつための必要十分条件は，
$(a+[ア])^2>[イ]b$である．
(ii) $P(a)=P(-a)$を満たす$a$の値は$2$つあり，小さい順に，$[ウ]$，$[エ]$である．
(iii) $P(a+b)=P(a-b)$を満たすとき，$a=[オカ]$である．

(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個が入っている．この袋から玉を$1$個取り出し，それを戻すと同時に，その玉と同じ色の玉を$1$個加える．このような操作を$3$回繰り返す．操作が終わったときに，袋の中の赤玉と白玉が同数になっている確率は，$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$であり，白玉が赤玉より$2$個多くなっている確率は，$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である．