「不等号」について
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私立 同志社大学 2013年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に点$\mathrm{A}(2,\ 1)$と点$\mathrm{B}(1,\ -2)$をとる．実数$\theta (0 \leqq \theta<2\pi)$に対して点$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(\cos \theta) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-\sin \theta) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たすものとする．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
(2)$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす値をとって変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
(2)$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす値をとって変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
私立 同志社大学 2013年 第3問$\alpha$は$\displaystyle 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数とする．$xy$平面において，曲線$\displaystyle C:y=\cos^3 x$ $\displaystyle \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$，直線$\ell:y=\cos^3 \alpha$および$y$軸で囲まれた図形を$D_1$とする．また，曲線$C$，直線$\ell$および直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形を$D_2$とする．次の問いに答えよ．
(1)$D_1$の面積$S_1$と$D_2$の面積$S_2$が等しくなるとき，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(2)$S_1$と$S_2$の和の最小値を求めよ．
(1)$D_1$の面積$S_1$と$D_2$の面積$S_2$が等しくなるとき，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(2)$S_1$と$S_2$の和の最小値を求めよ．
私立 星薬科大学 2013年 第1問次の問に答えよ．
(1)連立方程式$2x+y-3=0$，$ax-y+2a-7=0$が$x>0$，$y>0$となる解をもつとき，$a$がとりえる値の範囲は$[ ]<a<[ ]$である．
(2)$x$の$2$次方程式$(k^2-1)x^2-x+1=0$が正の$2$つの解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$k \alpha\beta=2 \alpha-\beta$を満たすとき，$\displaystyle k=\frac{[][]}{[][]}$，$\displaystyle \alpha=\frac{[][]}{[ ]}$，$\displaystyle \beta=\frac{[][]}{[ ]}$である．
(1)連立方程式$2x+y-3=0$，$ax-y+2a-7=0$が$x>0$，$y>0$となる解をもつとき，$a$がとりえる値の範囲は$[ ]<a<[ ]$である．
(2)$x$の$2$次方程式$(k^2-1)x^2-x+1=0$が正の$2$つの解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$k \alpha\beta=2 \alpha-\beta$を満たすとき，$\displaystyle k=\frac{[][]}{[][]}$，$\displaystyle \alpha=\frac{[][]}{[ ]}$，$\displaystyle \beta=\frac{[][]}{[ ]}$である．
私立 星薬科大学 2013年 第5問$x$の整式$f(x)$と$g(x)$が
\[ f(x)=x \int_0^1 g(t) \, dt+\int_{-1}^1 g(t) \, dt+1,\quad g(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
を満たすとき，
\[ f(x)=\frac{[ ]}{[ ]}x+\frac{[ ]}{[ ]},\quad g(x)=\frac{[ ]}{[ ]}x^2+\frac{[ ]}{[ ]}x \]
である．さらに，方程式$f(x)-g(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすると，
$\displaystyle \int_\alpha^\beta \{f(x)-g(x)\} \, dx=\frac{[][] \sqrt{[][]}}{[][]}$，
$\displaystyle \int_\alpha^\beta \{f(x)+g(x)\} \, dx=\frac{[][] \sqrt{[][]}}{[][]}$
である．
\[ f(x)=x \int_0^1 g(t) \, dt+\int_{-1}^1 g(t) \, dt+1,\quad g(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
を満たすとき，
\[ f(x)=\frac{[ ]}{[ ]}x+\frac{[ ]}{[ ]},\quad g(x)=\frac{[ ]}{[ ]}x^2+\frac{[ ]}{[ ]}x \]
である．さらに，方程式$f(x)-g(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすると，
$\displaystyle \int_\alpha^\beta \{f(x)-g(x)\} \, dx=\frac{[][] \sqrt{[][]}}{[][]}$，
$\displaystyle \int_\alpha^\beta \{f(x)+g(x)\} \, dx=\frac{[][] \sqrt{[][]}}{[][]}$
である．
私立 同志社大学 2013年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
\sin \alpha & -\cos \alpha
\end{array} \right)$と$B=\left( \begin{array}{cc}
\cos \beta & \sin \beta \\
\sin \beta & -\cos \beta
\end{array} \right) (0<\beta<\alpha<2\pi)$の積$AB$の$(1,\ 1)$成分は$\theta=\alpha-\beta$を用いて表すと$[ ]$となり，$(1,\ 2)$成分は$\theta$を用いて表すと$[ ]$となる．ここで点$\mathrm{P}_1(\sqrt{2},\ \sqrt{2})$が$AB$で表される$1$次変換によって点$\displaystyle \mathrm{P}_2 \left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \right)$に移るとすると$\theta=[ ]$となる．このとき，${(AB)}^{25}$で表される$1$次変換によって点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$[ ]$となり，$((AB)^{-1})^{2013}$で点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$[ ]$となる．
(2)関数$f(x)=(ax^2+bx)e^{-x^2}$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大値$1$をとるとする．このとき，$a=[ ]$，$b=[ ]$であり，$f(x)>0$を満たす範囲は$0<x<[ ]$となる．この区間で関数$g(x)=\log f(x)$を考える．曲線$C:y=g(x)$の点$\displaystyle \left( 1,\ -\frac{3}{4} \right)$における接線の方程式は$y=[ ]$となり，曲線$C$と直線$y=k$が共有点をもたない$k$の値の範囲は$[ ]$となる．
(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
\sin \alpha & -\cos \alpha
\end{array} \right)$と$B=\left( \begin{array}{cc}
\cos \beta & \sin \beta \\
\sin \beta & -\cos \beta
\end{array} \right) (0<\beta<\alpha<2\pi)$の積$AB$の$(1,\ 1)$成分は$\theta=\alpha-\beta$を用いて表すと$[ ]$となり，$(1,\ 2)$成分は$\theta$を用いて表すと$[ ]$となる．ここで点$\mathrm{P}_1(\sqrt{2},\ \sqrt{2})$が$AB$で表される$1$次変換によって点$\displaystyle \mathrm{P}_2 \left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \right)$に移るとすると$\theta=[ ]$となる．このとき，${(AB)}^{25}$で表される$1$次変換によって点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$[ ]$となり，$((AB)^{-1})^{2013}$で点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$[ ]$となる．
(2)関数$f(x)=(ax^2+bx)e^{-x^2}$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大値$1$をとるとする．このとき，$a=[ ]$，$b=[ ]$であり，$f(x)>0$を満たす範囲は$0<x<[ ]$となる．この区間で関数$g(x)=\log f(x)$を考える．曲線$C:y=g(x)$の点$\displaystyle \left( 1,\ -\frac{3}{4} \right)$における接線の方程式は$y=[ ]$となり，曲線$C$と直線$y=k$が共有点をもたない$k$の値の範囲は$[ ]$となる．
私立 同志社大学 2013年 第3問定数$a (a>1)$に対して曲線$y=a^x$，$x$軸および$y$軸，直線$x=1$で囲まれた図形を$S$とし，曲線$y=a^{2x}$，曲線$y=a^x$および直線$x=1$で囲まれた図形を$D$とする．次の問いに答えよ．
(1)$S$を$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．
(2)$D$を$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積$W(a)$を求めよ．
(3)$V(a)=W(a)$となる$a$の値を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to 1+0} \frac{W(a)}{a-1}$を求めよ．
(1)$S$を$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．
(2)$D$を$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積$W(a)$を求めよ．
(3)$V(a)=W(a)$となる$a$の値を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to 1+0} \frac{W(a)}{a-1}$を求めよ．
私立 同志社大学 2013年 第4問$k$は定数とし，媒介変数$t$を用いて$x=2 \sin^3 t$，$\displaystyle y=k \cos^3 t \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と表される曲線$S$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$k,\ t$を用いて表せ．ただし$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．
(2)曲線$S$が直線$x+y=1$に第$1$象限で接しているとき，接点の座標を$(p,\ q)$とする．$p,\ q,\ k$の値を求めよ．また，そのときの$t$の値$t_0$を求めよ．
(3)$(2)$で定まる$t_0$に対し，$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^4 t \, dt$，$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^6 t \, dt$の値をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で定まる$p,\ q,\ k,\ t_0$に対し，$0 \leqq x \leqq p$で曲線$S$，直線$x+y=1$と$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$k,\ t$を用いて表せ．ただし$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．
(2)曲線$S$が直線$x+y=1$に第$1$象限で接しているとき，接点の座標を$(p,\ q)$とする．$p,\ q,\ k$の値を求めよ．また，そのときの$t$の値$t_0$を求めよ．
(3)$(2)$で定まる$t_0$に対し，$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^4 t \, dt$，$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^6 t \, dt$の値をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で定まる$p,\ q,\ k,\ t_0$に対し，$0 \leqq x \leqq p$で曲線$S$，直線$x+y=1$と$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
私立 久留米大学 2013年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{4x+5}{x^2+1}$とする．
$f(x)$は，$\cos x=[$12$]$で最小値$[$13$]$を，$x=[$14$]$で最大値$[$15$]$をとる．
(2)$f(x)=\cos 5x+9 \cos 3x-10 \cos x$とする．
$f(x)$は，$\cos x=[$16$]$のとき最小値$[$17$]$をとる．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2-x-y-xy-2=0$を満たすとき，$x$の最小値は$[$18$]$，最大値は$[$19$]$である．また，$x+y$の最小値は$[$20$]$，最大値は$[$21$]$である．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{4x+5}{x^2+1}$とする．
$f(x)$は，$\cos x=[$12$]$で最小値$[$13$]$を，$x=[$14$]$で最大値$[$15$]$をとる．
(2)$f(x)=\cos 5x+9 \cos 3x-10 \cos x$とする．
$f(x)$は，$\cos x=[$16$]$のとき最小値$[$17$]$をとる．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2-x-y-xy-2=0$を満たすとき，$x$の最小値は$[$18$]$，最大値は$[$19$]$である．また，$x+y$の最小値は$[$20$]$，最大値は$[$21$]$である．
私立 久留米大学 2013年 第6問さいころを連続して振るとき，
(1)同じ数が続けて$2$回でると終了とする．このとき，$n$回目で終わる確率は$[$25$]$である．ただし，$n \geqq 2$とする．
(2)$n$回目にでた数が，それ以前にでた数と一致すると終了とする．このとき，$n$回目で終わる確率は$[$26$]$である．ただし，$2 \leqq n \leqq 7$とする．
(1)同じ数が続けて$2$回でると終了とする．このとき，$n$回目で終わる確率は$[$25$]$である．ただし，$n \geqq 2$とする．
(2)$n$回目にでた数が，それ以前にでた数と一致すると終了とする．このとき，$n$回目で終わる確率は$[$26$]$である．ただし，$2 \leqq n \leqq 7$とする．
私立 安田女子大学 2013年 第3問関数$y=\cos^2 \theta+2 \sin \theta+2$について，次の問いに答えよ．
(1)$\sin \theta=t$とおくとき，$y$を$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$y$の値を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$y$の最大値および最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$\sin \theta=t$とおくとき，$y$を$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$y$の値を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$y$の最大値および最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．