$f(x)=x^3-x^2+12$とおく．原点を通り，曲線$y=f(x)$に接する直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との接点以外の共有点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との共有点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$，$\mathrm{Q}(b,\ f(b)) (a<b)$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{R}(c,\ f(c))$が$a<c<b$を満たしながら動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積が最大となるような$c$の値を求めよ．

次の各文の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AD}=3$である四角形$\mathrm{ABCD}$において，$2$本の対角線の交点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分し，線分$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分しているとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおく．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ア] \overrightarrow{b}+[イ] \overrightarrow{d}$と表せる．さらに，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が垂直に交わるとき，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$の値は$[ウ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[エ]$である．
(2)$6$人の生徒$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$，$\mathrm{e}$，$\mathrm{f}$を$3$つの部屋$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に入れる．各部屋は$6$人まで入れることができる．このとき，空室があってもよいとして，$3$つの部屋への生徒の入れ方は全部で$[オ]$通りある．また，各部屋に$2$人ずつ入るような生徒の入れ方は全部で$[カ]$通りあり，空室ができないような生徒の入れ方は全部で$[キ]$通りある．
(3)$x$の関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_1^{2x} |t(t-x)| \, dt$により定める．このとき，$f(x) \geqq 0$となるための$x$の条件は$[ク]$である．また，$f(1)$の値は$f(1)=[ケ]$であり，$x>1$のときの$f(x)$を求めると$f(x)=[コ]$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と直線$\mathrm{AI}$との交点で$\mathrm{A}$以外のものを$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\mathrm{AD}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{BAD}=[サ]$であり，$\mathrm{BD}=[シ]$，$\mathrm{CD}=[ス]$，$\mathrm{BC}=[セ]$である．

$k$を実数の定数とする．$x$の方程式
\[ (\log_2x)^2-\log_2x^5+k=0 \cdots\cdots (*) \]
がある．

(1)$t=\log_2x$とおくとき，$(*)$を$t$の式で表すと，
\[ [ホ]t^2+[$*$マ]t+k=0 \]
となる．
(2)$k=4$のとき$(*)$の解は$x=[ミ],\ [ムメ]$である．
(3)$(*)$が二つの異なる実数解をもつための$k$の範囲は，$\displaystyle k<\frac{[モヤ]}{[ユ]}$である．
(4)$(3)$の下で，$(*)$の二つの解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$が$\beta=4 \alpha$という関係にあるなら，$\alpha=[ヨ] \sqrt{[ラ]}$となる．

次の$[　]$に適当な数，式を入れよ．ただし，$*$については，$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とすると，
\[ \alpha^2+\beta^2=[アイ],\quad \alpha^2-\beta^2=[ウ] \sqrt{[エ]},\quad \alpha^3+\beta^3=[オカ] \]
である．
(2)$\displaystyle \left( \frac{5}{2} \right)^{100}$の整数部分の桁数は$[キク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とせよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{5}{2}n$であるとき，$a_n=[$*$ケ]n+[$*$コ]$である．
(4)$1$枚の硬貨を$5$回投げるとき，表が$3$回出る確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$であり，$3$度目の表が$5$回目の試行で出る確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソタ]}$である．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の下で，関数$f(\theta)=-\sin 2\theta+\sqrt{2}(\sin \theta+\cos \theta)$を考える．

(1)$t=\sin \theta+\cos \theta$とおくとき，$t$の取り得る値の範囲は$[$*$チ] \leqq t \leqq \sqrt{[ツ]}$である．
(2)$f(\theta)$を$t$の式で表すと，$[$*$テ]t^2+\sqrt{[ト]}t+[$*$ナ]$となる．
(3)$f(\theta)$が最大になるのは$\displaystyle \theta=\frac{[$*$ニ]}{[ヌネ]}\pi$のときで，最大値は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ]}$である．最小になるのは$\displaystyle \theta=\frac{[$*$ヒ]}{[フ]} \pi$のときで，最小値は$-\sqrt{[ヘ]}$である．

$a$は実数の定数で，$0<a \leqq 1$とする．$2$次関数$f(x)=x^2-ax+b$が
\[ \int_0^1 f(x) \, dx=0 \]
を満たすとき，次の各問に答えよ．

(1)$a$と$b$の関係式を求めると，$\displaystyle b=\frac{[$*$け]}{[こ]}a+\frac{[$*$さ]}{[し]}$となる．
(2)実数$k$が$\displaystyle \int_1^2 f(x) \, dx=k \int_{-1}^0 f(x) \, dx$を満たすとき，$k$の最小値は$[$*$す]$である．$k$が最小であるとき，$y=f(x)$の接線で傾きが$1$のものは$\displaystyle y=x+\frac{[$*$せ]}{[そ]}$である．
(3)$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値と最小値を$a$の式で表したものをそれぞれ$M(a)$，$m(a)$と記すと，
\[ M(a)=\frac{[$*$た]}{[ち]} a+\frac{[$*$つ]}{[て]},\quad m(a)=\frac{[$*$と]}{[な]} a^2+\frac{[$*$に]}{[ぬ]}a+\frac{[$*$ね]}{[の]} \]
となる．
(4)最大値と最小値の差$M(a)-m(a)$の最小値は$\displaystyle \frac{[は]}{[ひ]}$である．

$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(5,\ 0)$，$\mathrm{B}(5,\ 4)$，$\mathrm{C}(0,\ 4)$を頂点とする長方形$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}(5,\ m)$，$\mathrm{Q}(n,\ 4)$がある．また，$\angle \mathrm{POQ}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とする．

(1)$\tan \theta$を$m$で表すと$\displaystyle \tan \theta=\frac{m}{[ア]}$である．$\tan (\theta+{45}^\circ)$を$n$で表すと$\displaystyle \tan (\theta+{45}^\circ)=\frac{[イ]}{n}$である．
(2)$(1)$の結果を利用して，$m$を$n$で表すと，$\displaystyle m=\frac{[ウエ]}{n+4}-[オ]$である．また，$n$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]} \leqq n \leqq [ク]$である．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき，$S$を$n$で表すと


$\displaystyle S=[ケコ]-\frac{[サシ]n}{n+4}+\frac{[ス]}{2}n$

\quad $\displaystyle =\frac{[セ]}{2}(n+4)-\frac{[ソタ](n+4)-[チツ]}{n+4}$

\quad $\displaystyle =\frac{[セ]}{2}(n+4)+\frac{[チツ]}{n+4}-[ソタ]$となる．

したがって，$S$の最小値は$[テト](\sqrt{[ナ]}-1)$となり，そのとき，$n=[ニ](\sqrt{[ヌ]}-1)$である．

濃度$a \, \%$の食塩水$300 \, \mathrm{g}$が入っている容器$\mathrm{A}$と，濃度$b \, \%$の食塩水$400 \, \mathrm{g}$が入っている容器$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$より$100 \, \mathrm{g}$の食塩水をとってそれを$\mathrm{B}$に移し，よくかき混ぜた後に同量を$\mathrm{A}$に戻すとする．この操作を$n$回繰り返したときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の食塩水の濃度を求めたい．次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)容器$\mathrm{A}$と容器$\mathrm{B}$に，最初にあった食塩の量の和は$[$*$] \mathrm{g}$である．
(2)$n (\geqq 1)$回の操作の後，容器$\mathrm{A}$の濃度が$x_n \, \%$，容器$\mathrm{B}$の濃度が$y_n \, \%$になっていたとする．$y_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと，
\[ y_n=[　] x_{n-1}+[　] y_{n-1} \]
となる．また，$x_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと，
\[ x_n=[　] x_{n-1}+[　] y_{n-1} \]
となる．
(3)食塩の量の和は一定であることに注意すると，
\[ [$* *$] x_n+[$***$] y_n=[$**$] x_{n-1}+[$***$] y_{n-1}=\cdots =[$*$] \]
(4)$(3)$で与えられた関係式を使って，数列$\{x_n\}$の漸化式をつくると，
\[ x_n=[　] x_{n-1}+[　] \]
となる．この漸化式を解くことによって，$x_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと，
\[ x_n=[　] \]
また，$y_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと，
\[ y_n=[　] \]
となる．

放物線$y={(x-1)}^2$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ {(a-1)}^2)$，$\mathrm{B}(b,\ {(b-1)}^2)$における$2$つの接線を，それぞれ，$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$a<b$とする．また，点$\mathrm{A}$を通り$\ell_1$と直交する直線を${\ell_1}^\prime$，点$\mathrm{B}$を通り$\ell_2$と直交する直線を${\ell_2}^\prime$とする．次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点の座標を$a,\ b$を使って表すと，$([　],\ [　])$である．
(2)この放物線と$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた部分の面積$S$を$a,\ b$を使って表すと，$[　]$である．
(3)${\ell_1}^\prime$と${\ell_2}^\prime$が直交するとき，$(2)$で求めた$S$の最小値は$[　]$である．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$となり，$\ell_1$，${\ell_1}^\prime$，$\ell_2$，${\ell_2}^\prime$の$4$つの直線で囲まれた部分の面積は$[　]$となる．

$3$次関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x$について次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$|x| \leqq 2$における関数$y=f(x)$の最大値$M$，および最小値$m$を求めよ．
(3)定数$k$が$m \leqq k \leqq M$をみたすとき，直線$y=k$と曲線$y=f(x)$の共有点の個数を調べよ．
(4)定数$K$が$m \leqq K \leqq M$をみたすとき，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=K$をみたす$\theta$の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle -\frac{3}{4} \pi \leqq \theta \leqq \frac{1}{4} \pi$とする．