以下の問に答えよ．

(1)関数$y=2x^2-3x+2 (-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle |x-1|<-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$の解は$A<x<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．
(3)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(6,\ 2)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下した垂線を$\mathrm{AH}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABH}$の面積を求めよ．
(4)$2$つの放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$と$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2+2kx-\frac{3}{2}k$が共有点を持たないような定数$k$の値の範囲は，$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \frac{\sqrt{17}+3}{\sqrt{17}-3}$の小数部分の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)関数$y=2x^2-3x+2 (-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle |x-1|<-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$の解は$A<x<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．
(3)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(6,\ 2)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下した垂線を$\mathrm{AH}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABH}$の面積を求めよ．
(4)$2$つの放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$と$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2+2kx-\frac{3}{2}k$が共有点を持たないような定数$k$の値の範囲は，$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \frac{\sqrt{17}+3}{\sqrt{17}-3}$の小数部分の値を求めよ．

ある薬品$30 \mathrm{g}$を純水$70 \mathrm{g}$に溶かした溶液が入ったビーカー$\mathrm{A}$と純水$100 \mathrm{g}$が入ったビーカー$\mathrm{B}$がある．今，次のような手順を繰り返して行うとする．

\mon[$①$] ビーカー$\mathrm{B}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に入れ，その後ビーカー$\mathrm{A}$の溶液をよくかき混ぜる．
\mon[$②$] できあがったビーカー$\mathrm{A}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{B}$に戻し，その後ビーカー$\mathrm{B}$の溶液をよくかき混ぜる．


(1)この手順を$1$回行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_1$，ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_1$とする．$a_1,\ b_1$の値を求めよ．
(2)この手順を$n$回（$n \geqq 2$）行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_n$，ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_n$とする．$a_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ．また，$b_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ．
(3)$c_n=a_n+b_n$と置くとき，$c_n$の値を求めよ．
(4)$d_n=a_n-b_n$と置くとき，$d_n$を$n$の式で表せ．
(5)ビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品とビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さの差が$0.1 \mathrm{g}$以下になるのは，この手順を何回繰り返した後か．
(6)$a_n,\ b_n$を$n$の式で表せ．

$2$次関数$y=2x^2+2px-3p-4$について以下の問に答えよ．

(1)この$2$次関数のグラフの頂点の座標を求めよ．
(2)この$2$次関数のグラフの頂点の$y$座標が負であるとき，定数$p$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$において，このグラフと$x$軸の$2$つの共有点の$x$座標が共に$1<x<3$をみたすとき，定数$p$の値の範囲を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に，放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2$がある．点$\mathrm{A}(2,\ 8)$を通る直線$\ell:y=t(x-2)+8$（ただし，$t$は定数）と$C$との$2$つの交点を結ぶ線分の中点を$\mathrm{M}(X,\ Y)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$C$と$\ell$との$2$つの交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると，$\alpha+\beta=[ア] t$である．$X,\ Y$を$t$を用いて表すと，$X=[イ] t$，$Y=[ウ] t^2-[エ] t+[オ]$である．
(2)$\mathrm{M}$が直線$\mathrm{OA}$上の点であるような$t$の値は小さい方から順に$[カ]$，$[キ]$である．
(3)$t$が$[カ]$から$[キ]$まで変化するときの$\mathrm{M}$の軌跡は，放物線
\[ D:y=\frac{[ク]}{[ケ]}x^2-x+[コ] \]
の$[サ] \leqq x \leqq [シ]$の部分である．
(4)$[カ] \leqq t \leqq [キ]$において，直線$\mathrm{OM}$が$D$に接するとき，$X=[ス]$である．また，$t$が$[カ]$から$[キ]$まで変化するとき，線分$\mathrm{OM}$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．

以下の各問いに答えなさい．

(1)関数$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2-3x-\frac{1}{2}$のグラフの頂点の座標を求めなさい．
(2)$x$軸と点$(-3,\ 0)$で接し，点$(-2,\ -2)$を通る$2$次関数を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$-5$だけ平行移動するとき，$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフになるとする．この定数$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(4)$a$を正の定数とする．$2$次関数$y=ax^2-4ax+b$は，区間$0 \leqq x \leqq 2$における最大値が$-1$，最小値が$-5$とする．このとき，定数$a,\ b$の値を求めなさい．

以下の各問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle 3(x+3)^2-1=\frac{x+3}{2}$を解きなさい．
(2)$\left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x>3 \\
|x-4|<2
\end{array} \right.$を解きなさい．
(3)$\displaystyle -x+\frac{2}{\sqrt{x^2+2}-x}$を簡単な式にしなさい．

(4)$\displaystyle \frac{3x-17}{(x+2)(x-3)}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-3}$を満たす$a$と$b$の値を求めなさい．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の命題$(ⅰ)$～$\tokeijyu$の真偽を書きなさい．

(i) 自然数ならば偶数である．
(ii) 食べ物ならば果物である．
(iii) 人間でないならば動物ではない．
\mon[$\tokeishi$] 整数ならば実数である．
\mon[$\tokeigo$] $|2x^2-5x-3|>0$ならば$x \neq 3$である．
\mon[$\tokeiroku$] $x^2=9$ならば$x=3$である．
\mon[$\tokeishichi$] $2$の倍数ならば$4$の倍数である．
\mon[$\tokeihachi$] $x+y>0$ならば$x>0$かつ$y>0$である．
\mon[$\tokeikyu$] $A \cap B=\phi$ならば$A \neq B$である．
\mon[$\tokeijyu$] $A=\{2x \;|\; 1 \leqq x \leqq 10,\ x \text{は自然数} \}$，$B=\{2y+2 \;|\; 1 \leqq y \leqq 10,\ y \text{は自然数} \}$ならば$A \subset B$である．

(2)以下の図において$A \cup B$の部分を塗りつぶしなさい．
（図は省略）
(3)$2x^2-x-1=0$の必要条件を次の$(ⅰ)$～$\tokeishi$からすべて選び，解答欄に記号で答えなさい．

(i) $x<0$
(ii) $x$は素数である．
(iii) $|x| \leqq 1$
\mon[$\tokeishi$] $x$は実数である．

(4)命題「$(x-1)^2=0$ならば$x=-1$または$x=1$」の逆，裏，対偶を解答欄に書きなさい．またこの命題の真偽を書き，偽のときは反例を挙げなさい．

$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-3 & 6
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
a-2 & -1 \\
a^2-2a-4 & 2a-6
\end{array} \right)$に対して，以下の各問いに答えよ．

(1)行列$A-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値を求めよ．ただし$E$は$2$次の単位行列を表す．
(2)$(1)$で求めた$k$の値を小さい順に$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha P+\beta Q=A$，$P+Q=E$を満たす行列$P,\ Q$を求めよ．
(3)行列の積$P^2,\ Q^2,\ PQ,\ QP$を求めよ．
(4)行列$A$の$n$乗$A^n (n=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(5)$a>0$として，行列$C$を$C=A+B$と定めるとき，行列$C-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値がただ$1$つしかないという．このような定数$k$および$a$の値を求めよ．
(6)$(5)$で求めた$k$を用いて行列$N$を$N=C-kE$と定めるとき，$N^2$を求めよ．
(7)行列$C$の$n$乗$C^n (n=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．

自然数$m,\ n$は，$2 \leqq m<n$を満たすとする．

(1)次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{n+1-m}{m(n+1)}<\frac{1}{m^2}+\frac{1}{(m+1)^2}+\cdots +\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{n^2}<\frac{n+1-m}{n(m-1)} \]
(2)次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{3}{2} \leqq \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2} \right) \leqq 2 \]
(3)$(2)$の不等式をより精密にした，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{29}{18} \leqq \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2} \right) \leqq \frac{61}{36} \]