「不等号」について
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私立 福岡大学 2013年 第7問$f(x)=-x^2+4x$とする．$a>3$のとき，点$(1,\ a)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(q,\ f(q)) (p<q)$とし，点$\mathrm{P}$を通る接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}$を通る接線を$\ell_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell_1$の傾きを$a$を用いて表せ．
(2)$2$本の接線$\ell_1$と$\ell_2$が直交するとき，曲線$y=f(x)$と接線$\ell_2$および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)接線$\ell_1$の傾きを$a$を用いて表せ．
(2)$2$本の接線$\ell_1$と$\ell_2$が直交するとき，曲線$y=f(x)$と接線$\ell_2$および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 西南学院大学 2013年 第1問以下の問に答えよ．
(1)不等式$x^2-2x-30<0$を満たす整数$x$は，全部で$[アイ]$個ある．
(2)有理数$m$と$n$について，$\displaystyle (2 \sqrt{2}+3)m+(5 \sqrt{2}-1)n=\frac{1}{3 \sqrt{2}-2}$が成立するとき，$\displaystyle m=\frac{[ウエ]}{[オカキ]}$，$\displaystyle n=\frac{[ク]}{[オカキ]}$である．
(3)$2$乗して$7+24i$となる複素数は，$\pm ([ケ]+[コ]i)$である．
(1)不等式$x^2-2x-30<0$を満たす整数$x$は，全部で$[アイ]$個ある．
(2)有理数$m$と$n$について，$\displaystyle (2 \sqrt{2}+3)m+(5 \sqrt{2}-1)n=\frac{1}{3 \sqrt{2}-2}$が成立するとき，$\displaystyle m=\frac{[ウエ]}{[オカキ]}$，$\displaystyle n=\frac{[ク]}{[オカキ]}$である．
(3)$2$乗して$7+24i$となる複素数は，$\pm ([ケ]+[コ]i)$である．
私立 西南学院大学 2013年 第4問単位円上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$を考える．動径$\mathrm{OP}$と$x$軸のなす角を$\theta (0^\circ \leqq \theta < 360^\circ)$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\theta=135^\circ$のとき
\[ \mathrm{P} \left( -\frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]},\ \frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \right) \]
である．
(2)$4y+3x$が最小となるとき，その値は$[ホマ]$であり，
\[ \mathrm{P} \left( -\frac{[ミ]}{[ム]},\ -\frac{[メ]}{[モ]} \right) \]
である．
(1)$\theta=135^\circ$のとき
\[ \mathrm{P} \left( -\frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]},\ \frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \right) \]
である．
(2)$4y+3x$が最小となるとき，その値は$[ホマ]$であり，
\[ \mathrm{P} \left( -\frac{[ミ]}{[ム]},\ -\frac{[メ]}{[モ]} \right) \]
である．
私立 西南学院大学 2013年 第5問関数$f(x)$を$f(x)=-x^3-3x^2+a$とし，$y=f(x)$で表されるグラフを$C$とする．$C$が極小となる点で$x$軸と接するとき，以下の問に答えよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求め，$f(x)$の極小値と極大値および$a$の値を求めよ．
(2)$C$と$x$軸の共有点のうち，$C$が極小とならない座標を求め，その点における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$y=3x^2-3$で表されるグラフを$D$とし，$D$と(2)で求めた$\ell$で囲まれる部分を$E$とする．$E$を$y$軸で$2$分割し，$x \geqq 0$の部分の面積と$x \leqq 0$の部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求め，$f(x)$の極小値と極大値および$a$の値を求めよ．
(2)$C$と$x$軸の共有点のうち，$C$が極小とならない座標を求め，その点における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$y=3x^2-3$で表されるグラフを$D$とし，$D$と(2)で求めた$\ell$で囲まれる部分を$E$とする．$E$を$y$軸で$2$分割し，$x \geqq 0$の部分の面積と$x \leqq 0$の部分の面積を求めよ．
私立 日本女子大学 2013年 第1問関数$\displaystyle f(x)=\int_0^4 |t(t-x)| \, dt$について，実数$x$が$-5 \leqq x \leqq 5$の範囲を動くとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の最大値と，最大値を与える$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の最小値と，最小値を与える$x$の値を求めよ．
(1)$f(x)$の最大値と，最大値を与える$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の最小値と，最小値を与える$x$の値を求めよ．
私立 京都産業大学 2013年 第1問以下の$[ ]$にあてはまる式または数値を入れよ．
(1)$2x^2+5xy-3y^2-3x+5y-2$を因数分解すると$[ア]$であり， \\
$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$を因数分解すると$[イ]$である．
(2)$1$から$100$までの整数のうち，$2$の倍数全体の集合を$A$，$3$の倍数全体の集合を$B$，$5$の倍数全体の集合を$C$とする．$A \cup B$の要素の個数は$[ウ]$であり，$(A \cup B) \cap C$の要素の個数は$[エ]$である．
(3)不等式$3^{2x+1}+2 \cdot 3^x>1$を満たす$x$の値の範囲は$[オ]$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$2:3$の比に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CA}$を$4:5$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$を$[カ]$の比に内分する点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$は$1$点で交わる．
(1)$2x^2+5xy-3y^2-3x+5y-2$を因数分解すると$[ア]$であり， \\
$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$を因数分解すると$[イ]$である．
(2)$1$から$100$までの整数のうち，$2$の倍数全体の集合を$A$，$3$の倍数全体の集合を$B$，$5$の倍数全体の集合を$C$とする．$A \cup B$の要素の個数は$[ウ]$であり，$(A \cup B) \cap C$の要素の個数は$[エ]$である．
(3)不等式$3^{2x+1}+2 \cdot 3^x>1$を満たす$x$の値の範囲は$[オ]$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$2:3$の比に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CA}$を$4:5$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$を$[カ]$の比に内分する点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$は$1$点で交わる．
私立 京都産業大学 2013年 第2問以下の$[ ]$にあてはまる式または数値を入れよ．
\[ f(x)=\frac{1}{2} \sin^2 x+4 \sin x \cos x+\frac{1}{2} \cos^2 x+\sin x+\cos x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最大値および最小値を次のようにして求める．
まず，$t=\sin x+\cos x$とおくと，$t$の値がとりうる範囲は$[ア]$である．次に，$\sin x \cos x$を$t$の式で表すと$[イ]$である．よって，$f(x)$を$t$の式で表した関数を$g(t)$とすると，$g(t)=[ウ]$となる．
$g(t)$は$[ア]$の範囲で$t=[エ]$のときに最大値$[オ]$をとり，$t=[カ]$のときに最小値$[キ]$をとる．したがって，$f(x)$の最大値は$[オ]$，最小値は$[キ]$である．
\[ f(x)=\frac{1}{2} \sin^2 x+4 \sin x \cos x+\frac{1}{2} \cos^2 x+\sin x+\cos x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最大値および最小値を次のようにして求める．
まず，$t=\sin x+\cos x$とおくと，$t$の値がとりうる範囲は$[ア]$である．次に，$\sin x \cos x$を$t$の式で表すと$[イ]$である．よって，$f(x)$を$t$の式で表した関数を$g(t)$とすると，$g(t)=[ウ]$となる．
$g(t)$は$[ア]$の範囲で$t=[エ]$のときに最大値$[オ]$をとり，$t=[カ]$のときに最小値$[キ]$をとる．したがって，$f(x)$の最大値は$[オ]$，最小値は$[キ]$である．
私立 西南学院大学 2013年 第1問以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}$を変形すると，$\displaystyle \frac{\sqrt{6}+[ア] \sqrt{3}-[イ] \sqrt{2}-[ウ]}{4}$となる．
(2)$2$次方程式$x^2+3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^3,\ \beta^3$を$2$つの解とする$2$次方程式を求めると，$x^2-[エ]x+[オカ]=0$となる．
(3)$x>8$のとき$\displaystyle \frac{4x^2-4x-223}{2x-16}$の最小値は，$[キク]$である．
(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}$を変形すると，$\displaystyle \frac{\sqrt{6}+[ア] \sqrt{3}-[イ] \sqrt{2}-[ウ]}{4}$となる．
(2)$2$次方程式$x^2+3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^3,\ \beta^3$を$2$つの解とする$2$次方程式を求めると，$x^2-[エ]x+[オカ]=0$となる．
(3)$x>8$のとき$\displaystyle \frac{4x^2-4x-223}{2x-16}$の最小値は，$[キク]$である．
私立 西南学院大学 2013年 第2問$2$次方程式$kx^2+8kx+3k-9=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとき，以下の問に答えよ．
(1)$|\alpha-\beta|=8$のとき，$k=[コ]$となる．
(2)$8<|\alpha-\beta|<10$のとき，$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}<k<[ス]$となる．
(3)$8<|\alpha-\beta|<10$を満たし，$|\alpha|+|\beta|$が整数になるとき，$\displaystyle k=\frac{[セソ]}{[タチ]}$となる．
(1)$|\alpha-\beta|=8$のとき，$k=[コ]$となる．
(2)$8<|\alpha-\beta|<10$のとき，$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}<k<[ス]$となる．
(3)$8<|\alpha-\beta|<10$を満たし，$|\alpha|+|\beta|$が整数になるとき，$\displaystyle k=\frac{[セソ]}{[タチ]}$となる．
私立 西南学院大学 2013年 第5問以下の問に答えよ．
(1)$y=x^2-4x+2$で表されるグラフを$G$とする．$G$と直線$y=x-2$の共有点の座標を求めよ．また，$G$と直線$y=-x+2$の共有点の座標を求めよ．
(2)次の連立不等式の表す領域を図示せよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq 2 \\
y \geqq x^2-4x+2 \\
(x+y-2)(x-y-2) \geqq 0
\end{array} \right. \]
(3)$(2)$の表す領域の面積を求めよ．
(1)$y=x^2-4x+2$で表されるグラフを$G$とする．$G$と直線$y=x-2$の共有点の座標を求めよ．また，$G$と直線$y=-x+2$の共有点の座標を求めよ．
(2)次の連立不等式の表す領域を図示せよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq 2 \\
y \geqq x^2-4x+2 \\
(x+y-2)(x-y-2) \geqq 0
\end{array} \right. \]
(3)$(2)$の表す領域の面積を求めよ．