関数$y=f(x)$の定義域は$x \geqq 1$であり，すべての正の整数$n$に対し，

$n \leqq x<n+1$のとき，$f(x)=(-1)^n (x^2-5x)$

が成り立っている．

(1)関数$y=-x^2+5x (1 \leqq x<2)$の値域を求めよ．
(2)$f(a)=-4$であるような実数$a$の値をすべて求めよ．
(3)$1 \leqq x<6$における関数$y=f(x)$の最大値，最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

関数$f(x)=ax^2+bx+c$と$g(x)=|x^2-2x|$がある．曲線$y=f(x)$は$3$点$(1,\ 3)$，$(5,\ -5)$，$(-3,\ -21)$を通る．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)区間$-2 \leqq x \leqq 3$における$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\cos x (-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi)$について，曲線$C:y=f(x)$と$y$軸との交点を$\mathrm{A}$とする．

(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標をすべて求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．また，曲線$C$上の点$\mathrm{A}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と接線$\ell$，および直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

座標平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -2 \sqrt{3})$，$\mathrm{C}(x,\ y)$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角が$60^\circ$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の大きさが$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$，$y>0$とする．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$と，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{CB}}|$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$を求めよ．また，$\cos \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

座標平面において，放物線$C:y=-x^2+9$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とし，$0<a<3$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$x$軸に平行な直線を$\ell$とし，点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$m$とする．

(1)曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
(2)曲線$C$と直線$m$，および直線$x=3$で囲まれた図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1+S_2$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

正三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上にそれぞれ点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があり，$\mathrm{AD}=\mathrm{BE}=\mathrm{CF}=t$，$\mathrm{BD}=\mathrm{CE}=\mathrm{AF}=1-t$が成り立っている．さらに直線$\mathrm{AE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{BF}$と$\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{CD}$と$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<t<1$とする．

(1)線分$\mathrm{FR}$の長さを$t$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は三角形$\mathrm{CFR}$の面積の何倍かを$t$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が三角形$\mathrm{PQR}$の面積の$2$倍となるとき，$t$の値をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx+c$が$3$点$(1,\ 1)$，$(2,\ 3)$，$(-1,\ 1)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)$2$次関数$y=ax^2+4ax+b$が$-1 \leqq x \leqq 2$において最大値$5$，最小値$1$をとるとき，$a,\ b$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$3^{x+1} \leqq 11+4 \times 3^{-x}$を解け．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$の$n$乗が$n$桁の数となるような$n$の値をすべて求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$とする．

$f(x)=\sin 2x+2 \sin x-2 \cos x+2 (0 \leqq x \leqq \pi)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$t=\sin x-\cos x$とするとき，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(2)$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle x+\frac{1}{x}=3$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ア]$であり，$x^3-5x^2+7x-2=[イ]$である．
(2)定義域を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$とするとき，$f(x)=\cos 3x+\sin 3x$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$[エ]$である．
(3)ある工業製品の価格が前年比で毎年$10 \;\%$ずつ下落している．現在の価格が$1000$円であるならば，$3$年後の価格は$[オ]$円となり，価格がはじめて$200$円を下回るのは$[カ]$年後である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とし，解答欄には整数値を入れよ．
(4)曲線$y=x^3+1$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接している．また，曲線$y=x^2+ax+1 (a<0)$も$\ell$と$\mathrm{A}$で接している．このとき，$a=[キ]$であり，$\ell$の方程式は$[ク]$である．
(5)定数$a$に対して，$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+x-6$であるとき，$f(x)=[ケ]$，$a=[コ]$である．