次の連立不等式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
1-2x<3x^2 \\
18x^2+39x \leqq 7
\end{array} \right. \]

連立不等式$\displaystyle -2<x-\frac{1}{x-2} \leqq 2$を解け．

大小$2$個のさいころを投げたとき，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$\displaystyle \frac{X}{X+3Y} \geqq \frac{2}{7}$となる確率を求めよ．

連立不等式$\displaystyle -2<x-\frac{1}{x-2} \leqq 2$を解け．

大小$2$個のさいころを投げたとき，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$\displaystyle \frac{X}{X+3Y} \geqq \frac{2}{7}$となる確率を求めよ．

$2$次関数$y=2x^2-8x+5$について，次の問いに答えよ．

(1)この関数のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動すると，グラフの頂点が第$2$象限にくる．このとき，$p,\ q$の値の範囲を求めよ．
(2)$-2 \leqq x \leqq 5$であるとき，この関数の最大値と最小値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\log_{10}2=0.3010$とするとき，$\log_{10}125$の値を求めよ．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2 \cos^2 \theta+2x \sin 2\theta+a \sin^2 \theta=0$が重解をもつとき，定数$a$の値を求めよ．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．
(3)座標平面上に，$3$直線$\ell_1:y=x+1$，$\ell_2:y=2x$，$\ell_3:y=ax+b$がある．$\ell_1$と$\ell_2$が$\ell_3$に関して対称であるとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．

曲線$C:y=e^x$上の点$(a,\ e^a)$における接線を$\ell$とする．曲線$C$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれてできる図形を$F$とする．ただし，$a$は定数とし，$a>1$である．

(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)図形$F$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$e^a(1-a) \geqq -1$とするとき，図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a$を用いて表せ．

$12$人の生徒が$4$人ずつ$3$つのグループ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に分かれている．この$12$人の生徒のうち，$n$人（$1 \leqq n \leqq 12$）が横$1$列に並ぶことを考える．ただし，同じグループの生徒は隣り合わないように並ぶものとする．

(1)$n=2$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(2)$n=3$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(3)$n=4$のとき，このような並び方は何通りあるか．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1-a & 3 \\
-1 & a
\end{array} \right)$と$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)$A^2$を求めよ．
(2)$A^2=xA+yE$が成り立つとき，実数$x$の値を求め，実数$y$を$a$を用いて表せ．
(3)$A^3=-E$が成り立つとき，$a$の値を求めよ．