次の各問題の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}$を簡単にすると$[ア]$となる．
(2)$(0.98)^n<0.5$となる最小の整数$n$は$[イ]$である．ただし$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}7=0.8451$とする．
(3)和$\displaystyle \frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\cdots+\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$を求めると$[ウ]$となる．

関数
\[ y=-3 \sin^2 \theta-\cos^2 \theta-\sqrt{3}\sin 2\theta+2 \sqrt{3}\sin \theta+2 \cos \theta+1 \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
について以下の問いに答えよ．

(1)$t=\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta$とおくとき$t$の動く範囲を求めよ．
(2)関数$y$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$y$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

関数$y=-x^3+x$について以下の問いに答えよ．

(1)極値を求めグラフの概形を描け．
(2)グラフ上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^3+t) (t>0)$における接線とグラフとの交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の接線が点$(0,\ 2)$を通るとき線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{5} \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$のとき，
\[ \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}+\frac{\sin^2 \theta-\cos^2 \theta}{1+2 \sin \theta \cos \theta}+\frac{\sin 2\theta}{1+\cos 2\theta} \]
の値を求めよ．

曲線$C:y=|x^2-9|-4x$と直線$L:y=k$（$k$は実数）が，すべて異なる$4$つの交点をもつとき，$k$のとりうる範囲は，$m<k<M$となる．$M-m$の値を求めよ．

$m,\ n (n>0)$は整数とする．$m^2-6m+1+2n=0$をみたす整数の組$(m,\ n)$は，何個あるか．

点$(1,\ 1)$から，円$C:x^2+y^2-6x+8=0$に$2$本の異なる接線をひくとき，$2$つの接点の座標を，それぞれ$(a,\ b)$，$(c,\ d)$とする．ただし，$a>c$である．$\displaystyle -\frac{11bd}{ac}$の値を求めよ．

円$C:x^2+y^2-15x-10y+50=0$，直線$L:y=mx$（$m$は正の実数）について考える．円$C$と直線$L$は，異なる$2$つの点$\mathrm{P}(p,\ mp)$，$\mathrm{Q}(q,\ mq) (q>p)$で交わることとする．円$C$と$x$軸は，異なる$2$つの点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$で交わる（$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$のうち，原点に近い点を$\mathrm{S}$とする）．線分$\mathrm{QR}$の長さが，線分$\mathrm{PS}$の長さの$2$倍となるとき，$\displaystyle \frac{13mp}{12}$の値を求めよ．

放物線$y=x^2-6x+5$と直線$y=k (-4<k<0)$（$k$は実数）との$2$つの異なる交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}(3,\ 0)$で作られる三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最大値を$M$とするとき，$\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{4}M$の値を求めよ．

次の連立不等式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
1-2x<3x^2 \\
18x^2+39x \leqq 7
\end{array} \right. \]