「不等号」について
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国立 東京海洋大学 2013年 第1問$3$次関数$f(x)=-x^3-x^2+8x+1$について，次の問に答えよ．
(1)関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数
\[ y=-(\sin \theta+\cos \theta)^3-(\sin \theta+\cos \theta)^2+8(\sin \theta+\cos \theta)+1 \]
の最大値と最小値を求めよ．
(1)関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数
\[ y=-(\sin \theta+\cos \theta)^3-(\sin \theta+\cos \theta)^2+8(\sin \theta+\cos \theta)+1 \]
の最大値と最小値を求めよ．
国立 東京海洋大学 2013年 第4問座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(t,\ t)$，$\mathrm{B}(t-1,\ -t+1)$をとり，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．
(1)$t$がすべての実数を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AB}$の方程式を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた方程式を満たす実数$t$が存在するための$x,\ y$についての条件を求め，条件を満たす点$(x,\ y)$全体の領域$D$を座標平面内に図示せよ．
(4)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を$y=f(x)$とする．連立不等式
\[ y \geqq x,\quad y \geqq -x,\quad y \leqq 1,\quad y \geqq f(x) \]
の表す領域と領域$D$の共通部分の面積を求めよ．
(1)$t$がすべての実数を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AB}$の方程式を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた方程式を満たす実数$t$が存在するための$x,\ y$についての条件を求め，条件を満たす点$(x,\ y)$全体の領域$D$を座標平面内に図示せよ．
(4)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を$y=f(x)$とする．連立不等式
\[ y \geqq x,\quad y \geqq -x,\quad y \leqq 1,\quad y \geqq f(x) \]
の表す領域と領域$D$の共通部分の面積を求めよ．
国立 東京海洋大学 2013年 第5問$f(x)=2 \sin x+\cos 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とする．
(1)関数$y=f(x)$の極値を求めてグラフの概形をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)方程式$f(x)=0$の解を$\alpha,\ \beta (0 \leqq \alpha<\beta \leqq 2\pi)$とする．$\sin \alpha$，$\cos \alpha$，$\sin \beta$，$\cos \beta$の値を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形で，第$4$象限に含まれる部分の面積を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$の極値を求めてグラフの概形をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)方程式$f(x)=0$の解を$\alpha,\ \beta (0 \leqq \alpha<\beta \leqq 2\pi)$とする．$\sin \alpha$，$\cos \alpha$，$\sin \beta$，$\cos \beta$の値を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形で，第$4$象限に含まれる部分の面積を求めよ．
国立 島根大学 2013年 第2問$x<1$に対して，$f(x)=|x| \log (1-x)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$は$x=0$で微分可能かどうかを調べよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$の交点を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int x \log (1-x) \, dx$を求めよ．
(4)$x \leqq 0$において関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$は$x=0$で微分可能かどうかを調べよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$の交点を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int x \log (1-x) \, dx$を求めよ．
(4)$x \leqq 0$において関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 島根大学 2013年 第2問数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，$\displaystyle a_1=1,\ b_1=0,\ a_{n+1}=\frac{1}{4}a_n-\frac{\sqrt{3}}{4}b_n,\ b_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}a_n+\frac{1}{4}b_n$によって定め，座標が$(a_n,\ b_n)$である点を$\mathrm{C}_n$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．
国立 大分大学 2013年 第2問連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \geqq |2x-3| \\
y \leqq x
\end{array} \right.$の表す領域を$D$とする．
(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)$a$を$2$でない正の定数とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値と最小値，およびそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最小値とそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
y \geqq |2x-3| \\
y \leqq x
\end{array} \right.$の表す領域を$D$とする．
(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)$a$を$2$でない正の定数とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値と最小値，およびそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最小値とそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
国立 大分大学 2013年 第1問連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \geqq |2x-3| \\
y \leqq x
\end{array} \right.$の表す領域を$D$とする．
(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)$a$を$2$でない正の定数とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値と最小値，およびそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最小値とそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
y \geqq |2x-3| \\
y \leqq x
\end{array} \right.$の表す領域を$D$とする．
(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)$a$を$2$でない正の定数とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値と最小値，およびそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最小値とそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
国立 宮崎大学 2013年 第4問$0<r<1$を満たす実数$r$について，座標平面上に，$2$点$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$と$\mathrm{P}_2(1,\ r)$がある．これらから点$\mathrm{P}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1}) \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を次の規則に従って定める．
点$\mathrm{P}_{n-1}$から点$\mathrm{P}_n$に向かう方向を時計の針の回転と逆の向きに${90}^\circ$回転し，その方向に点$\mathrm{P}_n$から距離$r^n$だけ進んだ点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_4,\ \mathrm{P}_8$の座標を，$r$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle x=\lim_{m \to \infty}x_{4m}$，$\displaystyle y=\lim_{m \to \infty}y_{4m}$とするとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標を，$r$を用いて表せ．
(3)実数$r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，$(2)$の点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ．
点$\mathrm{P}_{n-1}$から点$\mathrm{P}_n$に向かう方向を時計の針の回転と逆の向きに${90}^\circ$回転し，その方向に点$\mathrm{P}_n$から距離$r^n$だけ進んだ点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_4,\ \mathrm{P}_8$の座標を，$r$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle x=\lim_{m \to \infty}x_{4m}$，$\displaystyle y=\lim_{m \to \infty}y_{4m}$とするとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標を，$r$を用いて表せ．
(3)実数$r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，$(2)$の点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ．
国立 和歌山大学 2013年 第4問曲線$C:y=xe^{-x^2}$上の点$(t,\ te^{-t^2})$における接線を$\ell$とする．$t>1$の範囲で$\ell$と$x$軸の交点の$x$座標を最小にするような$t$を$t_0$とし，そのときの$\ell$を$\ell_0$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$t_0$を求めよ．
(2)$0<x<t_0$の範囲で$C$は上に凸であることを示せ．
(3)$C$と$\ell_0$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)$t_0$を求めよ．
(2)$0<x<t_0$の範囲で$C$は上に凸であることを示せ．
(3)$C$と$\ell_0$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 鳥取大学 2013年 第3問$a,\ b$を正の定数とする．曲線$y=e^{-ax}\sin bx \ (x \geqq 0)$と$x$軸とで囲まれた図形で$x$軸の下側にある部分の面積を，$y$軸に近い方から順に$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．