$\tan \alpha=2$，$\tan \beta=5$，$\tan \gamma=8$，$\displaystyle 0<\alpha,\ \beta,\ \gamma<\frac{\pi}{2}$とする．

(1)$\sin \alpha$を求めよ．
(2)$\tan (\alpha+\beta+\gamma)$，$\alpha+\beta+\gamma$を求めよ．
(3)$\beta-\alpha>\gamma-\beta$となることを示せ．
(4)$\displaystyle \beta>\frac{5\pi}{12}$となることを示せ．

$-2 \leqq x \leqq 2$上で関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}|x|,\quad g(x)=\int_{-2}^x f(t) \, dt \]
によって定める．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$g(x)$を計算し，$y=g(x)$のグラフの概形を描け．
(3)$y=g(x)$の逆関数$y=g^{-1}(x)$を求め，そのグラフの概形を描け．
(4)$\displaystyle \int_0^1 (g^{-1}(x))^2 \, dx$を計算せよ．
(5)$y=g^{-1}(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で微分可能であることを示せ．

$a,\ b$はともに$0$以上の実数とする．

(1)$m$を$2$以上の自然数とする．このとき，命題「$a^m+b^m<1$ならば，$a+b \leqq 1$である」は，偽であることを示せ．
(2)命題「$a+b<1$ならば，すべての自然数$n$に対して$a^n+b^n<1$である」の真偽を調べ，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

$a$は$a>1$を満たす定数とし，$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$を$f(x)=|x^2-a|$，$g(x)=-|x+1|+a$とする．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を書け．
(2)$y=g(x)$のグラフの概形を書け．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの交点が$2$個，$3$個，$4$個になるときの$a$の範囲または値をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)直径$1$の球を球の中心から距離$a$の平面で切って二つの部分に分け \\
たとき，中心を含まない部分の体積を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$ \\
とする．
(2)$1$辺の長さが$1$である立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える．この立方体に \\
内接する球と正四面体$\mathrm{ACFH}$との共通部分の体積を求めよ．
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$2$つのさいころを同時に投げることをくり返し，投げるのを止めた時点までの出た目の総和が得点となるゲームを行う．さいころは何回投げてもよいし，途中で投げるのを止めてもよいが，$2$つのさいころで同じ目が出た場合は得点は$0$点となり，以降さいころを投げることもできなくなる．例えば，下の得点表において，$\mathrm{A}$君は$2$回で投げるのを止めて$18$点，$\mathrm{B}$君は$3$回目で「$6$と$6$」を出してしまったので$0$点となる．$\mathrm{C}$君は$1$回さいころを投げたところである．以下の問いに答えよ．

\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline
& $\mathrm{A}$君 & $\mathrm{B}$君 & $\mathrm{C}$君 \\ \hline
$1$回目 & $3$と$6$ & $1$と$3$ & $5$と$6$ \\
$2$回目 & $4$と$5$ & $4$と$6$ & \\
$3$回目 & 止 & $6$と$6$ & \\ \hline
得点 & $18$ & $0$ & \\ \hline
\end{tabular}


(1)$2$つのさいころを$1$回だけ投げてゲームを止めたときの，得点の期待値を求めよ．
(2)$\mathrm{C}$君がもう$1$回さいころを投げてゲームを止めたときの，得点の期待値を求めよ．
(3)これまでに出した目の合計が$x$である人がいる．この人がもう$1$回さいころを投げてゲームを止めたときの得点の期待値$y$を，$x$を用いて表せ．
(4)(3)で求めた$y$について，$y<x$となる$x$の範囲を求めよ．

$xy$平面上の曲線$C$は媒介変数$\theta$を用いて
\[ x=\frac{2}{3}\sqrt{3}\cos \theta+\frac{\sqrt{6}}{3}\sin \theta,\quad y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cos \theta-\frac{\sqrt{6}}{3}\sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
と表される．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$を表す$x$と$y$の関係式を求め，$xy$平面に図示せよ．
(2)点$(2,\ 0)$から曲線$C$に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ．

$m$を正の定数とする．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ m)$がある．このとき$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を，$\triangle \mathrm{OPQ}$，$\triangle \mathrm{OPR}$がともに正三角形となるように定めよ．ただし，点$\mathrm{Q}$は$xy$平面上の$y>mx$となる領域に，点$\mathrm{R}$は$xy$平面上の$y<mx$となる領域に定めよ．
(2)$(1)$で定めた$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$について，一次変換$f$は点$\mathrm{P}$を同じ点$\mathrm{P}$に，点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{R}$に移すものとする．この一次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $m,\ n$が自然数ならば，$\displaystyle \frac{m}{n} \neq \sqrt{2}$である．このことを証明せよ．
(ii) $p,\ q$が自然数ならば，$\sqrt{2}$は$\displaystyle \frac{p}{q}$と$\displaystyle \frac{2q}{p}$の間にある．すなわち，$\displaystyle \frac{p}{q}<\sqrt{2}<\frac{2q}{p}$または$\displaystyle \frac{2q}{p}<\sqrt{2}<\frac{p}{q}$が成り立つ．このことを証明せよ．

(2)定数$a$は実数で，$a>0,\ a \neq 1$とする．このとき，すべての正の実数$x,\ y$に対して$x^{\log_ay}=y^{\log_ax}$が成り立つ．このことを証明せよ．

$xy$平面において，点$\mathrm{F}(p,\ 0)$と$y$軸から等距離にある点の軌跡を$C$とする．ただし$p>0$とする．次の各問いに答えよ．

(1)$C$を表す方程式を求めよ．
(2)$C$上の点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし$y_0 \neq 0$とする．
(3)(2)の$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{FP}=\mathrm{FQ}$であることを証明せよ．