$t$を$0 \leqq t<2$をみたす定数とする．放物線$y=(x-2)^2$上の点$(t,\ (t-2)^2)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と$x$軸の交点を求めよ．
(3)直線$\ell$と$x$軸，$y$軸によって囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$0 \leqq t<2$において$S(t)$が最大となるときの$t$の値と$S(t)$の値を求めよ．

連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \geqq |2x-3| \\
y \leqq x
\end{array} \right.$の表す領域を$D$とする．

(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)$a$を$2$でない正の定数とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値と最小値，およびそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最小値とそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$2$つの循環小数$a=1. \dot{2}$，$b=0. \dot{8} \dot{1}$に対して，$ab$の値を求めよ．
(2)$a$を定数とする．$xy$平面上の曲線$y=\log_2x$と直線$y=x+a$は$2$つの共有点をもつ．共有点の$x$座標$x_1,\ x_2$が$x_2=4x_1$を満たすように，$a$の値を定めよ．
(3)$xy$平面において，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ (x>0)$と直線$\displaystyle y=-x+\frac{10}{3}$の$2$つの共有点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$が$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$を満たすとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を求めよ．

$\tan \alpha=2$，$\tan \beta=5$，$\displaystyle 0<\alpha,\ \beta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$上で関数
\[ f(x)=\sin (\alpha+\beta+x)+\cos (\alpha+\beta+x) \]
を考える．

(1)$\sin (\alpha+\beta),\ \cos (\alpha+\beta)$を求めよ．
(2)$\tan (\alpha+\beta+x)$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(4)$f(x)$が最小となるときの$x$を$\gamma$とする．$\alpha+\beta+\gamma,\ \tan \gamma$を求め，$\beta-\alpha>\gamma-\beta$となることを示せ．
(5)$\displaystyle \beta>\frac{5\pi}{12}$となることを示せ．

$2$つの放物線$C_1:y=-2x^2$，$C_2:y=-x^2+2x-35$を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C_1$と放物線$C_2$の$2$つの交点の座標を求めよ．
(2)$a$を実数とする．点$(a,\ -a^2+2a-35)$における放物線$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(3)放物線$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)$(1)$で求めた交点の$x$座標を$b,\ c \ (b<c)$とする．また，$b \leqq a \leqq c$とする．このとき，放物線$C_1$と放物線$C_2$および$(2)$で求めた接線で囲まれた図形の面積が$\displaystyle \frac{352}{3}$となるような$a$の値を求めよ．

$n$を$2$以上の自然数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx$を求めよ．
(2)関数$y=\log x$の定積分を利用して，次の不等式を証明せよ．
\[ (n-1)! \leqq n^n e^{-n+1} \leqq n! \]
(3)極限値
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{\log (n!)}{n \log n} \]
を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$は，$\angle \mathrm{AOB}=90^\circ$，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす．$3$辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$を$t:(1-t) \ (0<t<1)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{CE}}|^2$を$t$の式で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OD}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を示せ．
(4)$\triangle \mathrm{CDE}$の面積を$S(t)$とする．

(i) $\displaystyle S(t)=\frac{3t^2-3t+1}{2}$を示せ．
(ii) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2 \ (x \geqq 0)$の逆関数を$f^{-1}(x)$とする．$xy$平面上に$2$曲線$C_1:y=f(x)$と$C_2:y=f^{-1}(x)$がある．次の問いに答えよ．

(1)$2$曲線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)$a \geqq 2$とする．曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{a^2}{2} \right)$における接線を$\ell_1$，曲線$C_2$上の点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{a^2}{2},\ a \right)$における接線を$\ell_2$とし，$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．

(i) $\tan \theta$を$a$の式で表せ．
(ii) $\displaystyle \lim_{a \to \infty} \sin^2 \theta$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=a_2=a_3=1,\quad a_{n+3}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_{n+1} \leqq a_{n+2} \leqq 2a_n$を示せ．
(2)$a_n \leqq \sqrt{2^n}$を示せ．
さらに，数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\left\{ \begin{array}{ll}
0 & a_n \ \text{が偶数のとき} \\
1 & a_n \ \text{が奇数のとき}
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．また，自然数$k$に対して，条件
\[ p_k \ \text{：すべての自然数} \ n \ \text{について} \ b_{n+k}=b_n \ \text{が成り立つ} \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(3)条件$p_k$を満たす最小の自然数$k$を求めよ．
(4)$p,\ q,\ r$を整数とし，数列$\{a_n\}$の$a_1,\ a_2,\ a_3$を$a_1=p,\ a_2=q,\ a_3=r$に置き換え，数列$\{b_n\}$もそれにあわせて置き換える．$p,\ q,\ r$をどのように選んでも，条件$p_k$を満たす自然数$k$が存在することを示せ．

自然数$n$に対し，座標平面上の点$(n,\ 1)$を$\mathrm{P}_n$とする．また，$r$を正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$1$次変換$f$は，すべての$n$に対して$f(\mathrm{P}_n)=\mathrm{P}_{n+1}$を満たすとする．$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)$1$次変換$g$は，点$(1,\ 1)$を点$(-2r,\ 1)$に，点$(-2r,\ 1)$を点$(2r^2-r,\ 1)$に移すとする．$g$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$C=ABA^{-1}$とする．行列$C^n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列$C^n$で表される$1$次変換による点$(1,\ r)$の像の$x$座標を$x_n$とする．$r<1$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．