自然数の数列$\{a_n\}$の隣り合う$2$項に次の関係式が成り立つ．
\[ \frac{a_{n+1}}{{a_n}^2}=3^n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
また，$a_1=1$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b_n=\log_3 a_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．
(2)$a_n \geqq 10^{100}$となる最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．

自然数の数列$\{a_n\}$の隣り合う$2$項に次の関係式が成り立つ．
\[ \frac{a_{n+1}}{{a_n}^2}=3^n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
また，$a_1=1$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b_n=\log_3 a_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．
(2)$a_n \geqq 10^{100}$となる最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の半円$C:x^2+y^2=1 \ (y>0)$上の点を$\mathrm{P}$とする．$a>1$に対して$x$軸上の定点を$\mathrm{A}(a,\ 0)$とし，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の方向となす角を$\theta$，$\mathrm{OR}=r$とするとき，直線$\mathrm{AQ}$の方程式を$a,\ \theta,\ r$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$のえがく曲線の方程式を求めよ．
(3)(2)で得られた曲線の$a=\sqrt{2}$であるときの概形をかけ．

次の問いに答えよ．

(1)次の$x$と$y$に関する連立方程式を解け．ただし，$a$と$b$は実数の定数とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
ax+y=1 \\
x+by=1
\end{array} \right. \]
(2)$\displaystyle \cos x \geqq 1-\frac{x^2}{2} \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を証明せよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int e^{ax} \sin bx \, dx$を求めよ．ただし，$a$と$b$は実数の定数とする．

次の問いに答えよ．

(1)$k,\ l$を自然数で，$k>l$とする．$l$から$k$までの$k-l+1$個の自然数から，同じものを繰り返し使うことを許して$3$個取り出して並べた数列を作る．そのうち，$k$と$l$の両方を含む数列の総数を$k$と$l$を用いて表せ．
(2)さいころを$3$回投げるとき，$3$つ出た目の最大値を$M$，最小値を$m$とし，$R=M-m$とする．$R$の期待値を求めよ．

座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限の部分を$C$とする．曲線$y=f(x) \ (0<x<1)$は第$4$象限にあり，かつすべての$x_1 \ (0<x_1<1)$について，点$(x_1,\ f(x_1))$における接線が$C$上の点$(x_1,\ y_1)$における$C$の接線と直交しているとする．曲線$y=f(x)$上の動点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは常に$1$であることを示せ．
(3)$x$軸上と$y$軸上に$2$辺をもち，線分$\mathrm{OP}$を対角線とする長方形の面積を$S$とする．点$\mathrm{P}$が$S$を最大にする位置にあるとき，$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}$における曲線の接線と座標軸が交わってできる$2$点の中点であることを示せ．
(4)$f(x)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)=0$であるとする．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，$\displaystyle a_1=1,\ b_1=0,\ a_{n+1}=\frac{1}{4}a_n-\frac{\sqrt{3}}{4}b_n,\ b_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}a_n+\frac{1}{4}b_n$によって定め，座標が$(a_n,\ b_n)$である点を$\mathrm{C}_n$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．

座標平面上に，直線$\displaystyle y=\frac{4}{3}x$と$y$軸の両方に接する円$C$がある．その円$C$の中心の座標を$(a,\ b)$とする．ただし，$a>0$かつ$b<0$とする．次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 3)$と点$(a,\ b)$を通る直線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点の座標を$(t,\ 0)$とおく．このとき，$t$を$a$を用いて表せ．また，$a \to \infty$のときの$t$の極限値を求めよ．

$t$を$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}-1$をみたす実数とする．座標平面上に$6$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{P}(t-1,\ 0)$，$\mathrm{Q}(t,\ 1)$，$\mathrm{R}(t+1,\ 0)$がある．$2$直線$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}$，$2$直線$\mathrm{QR}$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$の$x$座標をそれぞれ求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$と三角形$\mathrm{PQR}$の共通部分の面積を$S$とおく．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$S$が最大となるような$t$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\tan \frac{x}{2}$とおくとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ (ⅰ) \sin x=\frac{2t}{1+t^2} \quad (ⅱ) \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \quad (ⅲ) \tan x=\frac{2t}{1-t^2} \]
(2)$a,\ b$を実数とする．$x$を未知数とする方程式$a \sin x+b \cos x+1=0$が，$-\pi<x<\pi$の範囲に相異なる二つの解をもつとする．

(i) $a,\ b$の満たすべき条件を求めよ．
(ii) 二つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \tan \frac{\alpha+\beta}{2}$を$a,\ b$を用いて表せ．

(3)次の定積分を求めよ．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x+\cos x+1} \, dx \]