次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x \log x-x \ (x>0)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$a$を正の実数とする．曲線$C:y=\log (x+1)$上の点$(t,\ \log (t+1))$における接線$\ell_t$が，曲線$C_a:y=a \log x$上の点$(s,\ a \log s)$における接線にもなっているとき，$t$と$s$の関係を$a$を含まない式で表せ．
(3)任意に与えられた$t>-1$に対して，直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線にもなっているような$a$が唯一つ存在すること，および$a>1$であることを示せ．
(4)直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線になっているとき，その接点の$x$座標を$s(t)$とかくことにする．$s(t)$を$t$の関数とみて増減を調べ，さらに$\displaystyle \lim_{t \to \infty}(s(t)-t)$を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補いなさい．

(1)実数$x,\ y$が$2x+y=\sqrt{2013}$を満たすとき，$xy$の最大値を求めると$[　]$．

(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=[　]$．

(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\sin^3 x+\cos^3 x$の最大値$M$と最小値$m$を$t=\sin x+\cos x$とおいて求めると$(M,\ m)=[　]$．

$2$つの曲線
\[ y=\cos^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \quad \text{と} \quad y=\sin^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
を，それぞれ$C_1$と$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．
(3)$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$p,\ q$を整数とし，$p>0$とする．数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=36,\quad a_{n+1}=a_n+2pn+q \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．

(1)$a_n$を$p,\ q,\ n$を用いて表せ．
(2)$a_4>0$かつ$a_5<0$とする．このとき，$p,\ q$の値を求めよ．
(3)(2)の条件のもとで，$a_n<0$を満たす$n$の値をすべて求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^3+ax^2+bx+c$で定義される曲線$y=f(x)$は，$3$点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$，$(-2,\ 0)$を通る．また，曲線$y=f(x)$を$x$軸方向に$1$だけ移動した曲線を$y=g(x)$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は実数とする．次の各問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$の増減表を作り，そのグラフの概形を図示しなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と円$x^2+y^2=4$のすべての交点を求めなさい．
(4)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
y \geqq f(x) \\
y \geqq g(x)
\end{array} \right. \]
で示される領域を図示し，この領域の面積を求めなさい．

関数$f(x)=xe^{-2x}$に関して次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$y=f(x)$の概形をかけ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-2x}=0$を使ってよい．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうちで傾きが最小となるものを$\ell$とする．その接線$\ell$の方程式と接点$(a,\ f(a))$を求めよ．
(3)$x<a$において，接線$\ell$は曲線$y=f(x)$より常に上側にあることを証明せよ．ただし，$a$は(2)で求めたものとする．
(4)曲線$y=f(x)$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

三角関数の加法定理を用いると
\[ \begin{array}{l}
\cos 2\theta=2 \cos^2 \theta-1,\quad \sin 2\theta=2 \sin \theta \cos \theta \\
\cos 3\theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta,\quad \sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta
\end{array} \]
を導くことができる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)加法定理と上の公式を利用して，$\cos 5\theta=16 \cos^5 \theta-20 \cos^3 \theta+5 \cos \theta$を導け．
(2)$\displaystyle x=\cos \frac{2\pi}{5}$とおくと，(1)より$16x^5-20x^3+5x-1=0$となる．この左辺を因数分解すると$(x-1)(ax^2+bx+c)^2$となる．整数$a,\ b,\ c$を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値を求めよ．

自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，その一般項を$a_n$で表し，初項から第$n$項までの和を$S_a(n)$で表す．また，$\{b_n\}$は一般項が$b_n=2^{a_n}$で定義される数列であり，その初項から第$n$項までの和を$S_b(n)$で表す．次の各問に答えよ．

(1)$a=1,\ d=2$とする．

(i) $n$を用いて$a_n$と$S_a(n)$を表しなさい．
(ii) $\log_{10} \{S_a(1000)\}$の値を求めなさい．
(iii) $10<S_a(n)<50$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．

(2)$b_3=\sqrt[5]{4},\ b_7=\sqrt[5]{64}$とする．

(i) $a$と$d$の値を求めなさい．
(ii) $b_{n+1}$の$b_n$に対する比を求めなさい．
(iii) $n$を用いて$b_n$と$S_b(n)$を表しなさい．
\mon[$\tokeishi$] $b_n=2$のとき，$n$と$S_b(n)$のそれぞれの値を求めなさい．

(3)自然数$m$について，$u=\sin a_{2m-1}+\cos a_{2m-1}$，$v=\sin a_{2m}-\cos a_{2m}$，$y=uv$，$0<a<2\pi$，$d=\pi$とする．

(i) $u$の最大値と，$u$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．
(ii) $v$の最大値と，$v$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．
(iii) $y$の最大値と，$y$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．

関数$f(x)=\log x$がある．曲線$y=f(x)$の点$(t,\ \log t)$における接線の方程式を$y=g(x)$とするとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．

(1)$x>0$のとき，不等式$f(x)-g(x) \leqq 0$を証明せよ．

(2)$\displaystyle t>\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}f(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}g(x) \, dx$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(3)自然数$n$に対して，$n!$と$\displaystyle \sqrt{2} \left( n+\frac{1}{2} \right)^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$の大小を比較せよ．

次の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．$-1 \leqq \tan x \leqq \sqrt{3}$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x$が(1)で求めた範囲を動くとき，$f(x)=\sin x+2 \cos x$の最大値と最小値を求めよ．