定数$a,\ b$と自然対数の底$e$に対して，$f(x)=(ax+b)e^{-x}$とおく．曲線$y=f(x)$は点$(0,\ 2)$を通り，その点における接線の傾きは$2$であるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲において，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$0<p_1<p_2,\ 1<r_2$とする．中心$\mathrm{O}_1(p_1,\ 0)$，半径$1$の円$C_1$と，中心$\mathrm{O}_2(p_2,\ 0)$，半径$r_2$の円$C_2$は点$\mathrm{T}$で外接している．また円$C_1,\ C_2$はともに放物線$C:x=y^2$に接している．円$C_1$と放物線$C$との接点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{Q}_1({q_1}^2,\ q_1)$，円$C_2$と放物線$C$との接点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{Q}_2({q_2}^2,\ q_2)$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2,\ r_2$を求めよ．
(2)放物線$C$と弧$\widehat{\mathrm{Q}_1 \mathrm{T}}$および弧$\widehat{\mathrm{Q}_2 \mathrm{T}}$で囲まれた図形を$D$とするとき，$C$，$C_1$，$C_2$の概形をかき，$D$を図示せよ．ただし，ここでいう弧とは，その中心角が$180^\circ$以下のものをいう．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

$\alpha>1$とする．曲線$C:y=x^\alpha \ (x>0)$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^\alpha)$における$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，$x$軸上に点$\mathrm{R}$を$\mathrm{PR}=\mathrm{PQ}$をみたすようにとる．ただし，点$\mathrm{R}$の$x$座標は点$\mathrm{P}$の$x$座標より小さいものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の$y$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．
(3)$x$軸と直線$\mathrm{RP}$のなす鋭角を$\theta$とするとき，$\displaystyle \lim_{p \to \infty}\theta=\frac{\pi}{4}$をみたす$\alpha$の値を求めよ．

頂点が$\mathrm{O}$で，各辺の長さが$1$である正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{CO}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，辺$\mathrm{OD}$を$k:1-k \ (0<k<1)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．次に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{BR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$k,\ t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{R}$が$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{Q}$の定める平面上にあるとする．

(i) $k$を$t$を用いて表せ．
(ii) $t$の値が変化するとき，$k$の最大値を求めよ．また，$k$が最大値をとるときの四角形$\mathrm{PBQR}$の面積$S$を求めよ．

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^n} \tan \frac{1}{2^n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$のとき，等式$\displaystyle \frac{1}{2}\tan \theta=\frac{1}{2 \tan \theta}-\frac{1}{\tan 2\theta}$を示せ．
(2)(1)を用いて，和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$の和を求めよ．

$\alpha>1$とする．曲線$C:y=x^\alpha \ (x>0)$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^\alpha)$における$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，$x$軸上に点$\mathrm{R}$を$\mathrm{PR}=\mathrm{PQ}$をみたすようにとる．ただし，点$\mathrm{R}$の$x$座標は点$\mathrm{P}$の$x$座標より小さいものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の$y$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．
(3)$x$軸と直線$\mathrm{RP}$のなす鋭角を$\theta$とするとき，$\displaystyle \lim_{p \to \infty}\theta=\frac{\pi}{4}$をみたす$\alpha$の値を求めよ．

$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸，原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，$z$軸 \\
を中心軸とする半径$1$の円柱を考える．次に，$x$軸を含み$xy$平面と \\
のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$となる平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$による円柱の切り口の \\
曲線を$C$とする．また，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$とする．さらに，曲線$C$上 \\
の点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とし，$\angle \mathrm{AOQ}=\theta$ \ \\
$(0 \leqq \theta<2\pi)$とする．このとき，次の問に答えよ．
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(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り$z$軸に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$によって円柱の側面を切り開いた展開図の上に，曲線$C$の概形をかけ．
(3)図のように，平面$\alpha$と$yz$平面の交線を$Y$軸とする．$xY$平面における曲線$C$の方程式を求め，その概形をかけ．
（図は省略）

$0^\circ \leqq \alpha \leqq 90^\circ,\ 0^\circ \leqq \beta \leqq 90^\circ$について，$\sin \alpha=2 \sin^2 \beta$が成り立つものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\cos 2 \beta$を$\sin \beta$を用いて表せ．また，$\cos 4 \beta$を$\sin \beta$を用いて表せ．
(2)$\alpha+2 \beta=90^\circ$のとき，$\sin \alpha$の値を求めよ．
(3)$\alpha+4 \beta=90^\circ$のとき，$\sin \alpha$の値を求めよ．

$x,\ y,\ z,\ p$は自然数で
\[ xy+yz+zx=pxyz,\quad x \leqq y \leqq z \cdots\cdots① \]
を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)$p \leqq 3$を示せ．
(2)$①$を満たす自然数の組$(p,\ x,\ y,\ z)$をすべて求めよ．

$a$を正の実数とし，$f(x)=e^{-x}\sin ax$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とする．曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \frac{2(n-1)\pi}{a} \leqq x \leqq \frac{2n \pi}{a} \right)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$A_n$で表すとき，$A_n$を$a$と$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infty A_n$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}S$を求めよ．