座標平面において，点$\mathrm{P}_0$を原点として，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\cdots$を \\
下図のようにとっていく（点線は$x$軸と平行）．ただし， \\
$\displaystyle \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n=\frac{1}{2^{n-1}} \ (n \geqq 1),\ 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき， \\
次の問いに答えよ．
\img{674_2898_2013_1}{25}


(1)$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\cdots +\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n+\cdots$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}_n$の座標を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(3)$n$を限りなく大きくするとき，点$\mathrm{P}_n$はどのような点に近づくか，その点の座標を求めよ．

$\log_{10}3=a$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$3^{20}>10^9,\ 3^{25}<10^{12}$を示せ．
(2)$0.45<a<0.48$を示せ．
(3)$6.54<15a-a^2<6.97$を示せ．
(4)次の$2$つの不等式をともにみたす実数の組$(x,\ y)$は存在しないことを示せ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-2(1+a)x+y^2-4(2-a)y+a^2-2a+8 \leqq 0 \\
x^2-6(2+a)x+y^2-2(3-a)y+9a^2+38a+29 \leqq 0
\end{array} \right. \]

関数$f(x)=x^3e^{-9x}$と実数$a$に対して，次の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で，$f(x)=a$をみたす実数$x$の個数を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{5}{3}\pi \leqq \theta \leqq \frac{5}{3}\pi$の範囲で，$f(\cos \theta)=a$をみたす実数$\theta$がちょうど$6$個存在するような$a$の範囲を求めよ．

$0<\theta \leqq \pi$に対して$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とおく．$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の問に答えよ．

(1)$A^n$を求めよ．
(2)$S_n=E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}$とおくとき，$S_n=P(A^n-E)$となる行列$P$を求めよ．ここで，$E$は単位行列である．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{n}$のとき，$1+\cos \theta+\cos 2\theta+\cdots +\cos n\theta$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=2,\quad \left\{ \begin{array}{ll}
a_n<100 \text{のとき，} & a_{n+1}=a_n+3 \\
a_n \geqq 100 \text{のとき，} & a_{n+1}=a_n-100
\end{array} \right. \]
このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_n>a_{n+1}$を満たす最小の自然数$n$を$m$とおく．$m,\ a_{m}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^m a_k$を求めよ．
(2)$a_{105}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{105} a_k$を求めよ．

$x$が$3<x<6$の範囲にあるとき，次の問に答えよ．

(1)この範囲ではつねに$\displaystyle \frac{1}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq 3$が成立することを示せ．

(2)この範囲でつねに$\displaystyle \frac{5}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq a$が成立するような$a$の最大値を求めよ．

$a>0$のとき，$2$つの放物線$y=x^2-2,\ y=-ax^2+ax-1$について，次の問に答えよ．

(1)$2$つの放物線の交点の座標を求めよ．
(2)$2$つの放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．

「$n \leqq \sqrt{11}<n+1$が成り立つような整数$n$を見つけよ．」という問題に対して以下の答案があった．この答案の趣旨を詳しく説明せよ．

[答案]
まず，${\sqrt{11}}^2=11$から奇数を小さい順に引いていく．つまり，
\[ 11-1=10,\quad 10-3=7,\quad 7-5=2 \]
となり，これ以上引くと負の数になるからここで計算を止める．結局，奇数を$3$回引いたので，$n=3$となる．

点$(0,\ a)$を中心とする半径$r$の円$C$と放物線$F:y=x^2$を考える．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)円$C$と放物線$F$が点$(b,\ b^2)$で同じ接線を持つとする．ただし，$b>0$とする．このとき，$C$の中心と点$(b,\ b^2)$を結ぶ直線の傾きを$b$を用いて表せ．また，$r$を$b$を用いて表せ．
(2)(1)において$r=1$とする．このとき，$C$と$F$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$C$と$F$の共有点が原点のみであるための$r$の条件を求めよ．

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^n} \tan \frac{1}{2^n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$のとき，等式$\displaystyle \frac{1}{2}\tan \theta=\frac{1}{2 \tan \theta}-\frac{1}{\tan 2\theta}$を示せ．
(2)(1)を用いて，和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$の和を求めよ．