大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a,\ b$とする．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の$2$直線$\displaystyle y=\frac{1}{a}x+1,\ y=(b+1)x$のなす鋭角を$\theta$とする．

\mon[$①$] $\tan \theta$を$a$と$b$を用いて表せ．
\mon[$②$] $\tan \theta \leqq 1$となる確率を求めよ．

(2)$xy$平面上で，連立不等式$x \geqq 0,\ y \geqq 0,\ 2x+y \leqq 4$の表す領域を$D$とする．点$(x,\ y)$がこの領域$D$を動くとき，$\displaystyle \frac{b}{a}x+y$の最大値を$M$とする．

\mon[$①$] $\displaystyle \frac{b}{a} \leqq 2$のとき，$M$を求めよ．
\mon[$②$] $\displaystyle \frac{b}{a}>2$のとき，$M$を$a$と$b$を用いて表せ．
\mon[$③$] $M$の期待値を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$上に$t \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ (0<t<1)$となる点$\mathrm{C}$をとる．$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=1$のとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{AC}=1$のとき，$t$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

関数$f_n(x) \ (x \geqq 0)$を
\[ f_1(x)=|x-1|,\quad f_{n+1}(x)=|f_n(x)-(n+1)| \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f_2(x)$と$y=f_3(x)$のグラフをかけ．
(2)$a_n=f_n(0)$とおく．数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の一般項を求めよ．
(3)$f_n(\alpha)=0$を満たす$\alpha$に対し，
\[ f_{n-i}(\alpha)=in-\frac{i(i-1)}{2} \quad (i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n-1) \]
が成立することを証明せよ．
(4)$f_n(\alpha)=0$を満たす$\alpha$を$n$の式で表せ．

$k$を整数とし，$0 \leqq x \leqq \pi$において，
\[ f(x)=e^x \sin \left\{ (4k+1)x \right\},\quad g(x)=e^x \sin x \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k=2$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$k=-1$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)任意の整数$k$に対して，$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$の共有点のうちに，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するものがあることを示せ．

$f(x)=e^{-x}$とする．実数$t$に対し，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，点$\mathrm{B}(t-\log 2,\ f(t-\log 2))$を考える．

(1)$t \geqq 0$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$の最大値を求めよ．
(2)$k$を自然数とし，$t=k \log 2$であるときの三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_k$とする．自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を求めよ．

$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -a \\
-b & b
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，$n$を自然数とする．また，
\[ E+A+A^2+\cdots +A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right) \]
とおく．

(1)$A^2=cA$となる定数$c$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)行列$A^n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$は正の数で$a+b<1$を満たす．$p_n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle a=\frac{1}{2},\ b=\frac{1}{3}$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．

$f(x)=e^{-x}$とする．$t \geqq 0$に対して，曲線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，点$\mathrm{B}(t-\log 2,\ f(t-\log 2))$および原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．

(1)$t=0$のとき，$S$を求めよ．
(2)$t \geqq 0$のとき，$S$を$t$を用いて表せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，$S$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$(x-1)^2-3 |x-1|+1<0$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対して，$2^{n-1}+3^{3n-2}+7^{n-1}$が$5$の倍数であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

初項から第$n$項までの和が$S_n=2n^2-n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となる数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．また，$a_n$は等差数列になることを示し，初項$a$と公差$d$を求めよ．
(2)和$a_2+a_4+a_6+\cdots +a_{2n}$を求めよ．
(3)和$(-1)a_1+(-1)^2a_2+(-1)^3a_3+\cdots +(-1)^{2n}a_{2n}$を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}(-1)^{i+1}S_i \leqq -5$が，すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して成り立つことを示せ．