座標空間内で$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{AB}$上の点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$上の点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{DE}$上の点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{DE}$は辺$\mathrm{BC}$に平行とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{DE}}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\alpha,\ \beta$は実数とし，$0<\alpha<1$，$0<\beta<1$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\alpha$，$\beta$によって表し，次に$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を成分表示せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$に垂直となる$\mathrm{P}$の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$の両方に垂直となる$\alpha$の値を求めよ．
(4)点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

実数$a>0$と$k>0$に対して$2$つの曲線
\[ C_1:y=ax^2,\quad C_2:y=k \log x \quad (x>0) \]
を考える．ここで，$\log x$は$x$の自然対数とする．$C_1$と$C_2$がただ$1$点を共有し，その点における接線が一致するとき，次の問いに答えよ．

(1)共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$k$を$a$を用いて表せ．
(3)$k=2e$のとき，$C_1$，$C_2$および$x$軸で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(4)(3)の$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)不等式$\log_2x>1$を解け．
(2)不等式$\log_{\frac{1}{2}}x>1$を解け．
(3)座標平面上に，
\[ \log_2 (x+y)+\log_{\frac{1}{2}}(x-y) \]
が定義される領域を図示せよ．
(4)座標平面上に，不等式
\[ \log_2 (x+y)+\log_{\frac{1}{2}}(x-y)>1 \]
の表す領域を図示せよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a>0,\ b>0$とする．$a \neq b$であるための必要十分条件は，
\[ \frac{a+b}{2}>\sqrt{ab} \]
であることを示せ．
(2)$a>0,\ b>0,\ a \neq b$とする．
\[ p=a+b-\sqrt{ab},\quad q=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{ab}} \]
とおくとき，$pq>1$であることを示せ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．
(3)$a>0,\ b>0,\ ab>1$とする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-\left( a+\sqrt{\frac{a}{b}} \right)x+\frac{a}{b}=0 \]
は，相異なる$2$つの正の実数解をもつことを示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a>0,\ b>0$とする．$a \neq b$であるための必要十分条件は，
\[ \frac{a+b}{2}>\sqrt{ab} \]
であることを示せ．
(2)$a>0,\ b>0,\ a \neq b$とする．
\[ p=a+b-\sqrt{ab},\quad q=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{ab}} \]
とおくとき，$pq>1$であることを示せ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．

関数$f(x)=x^3-3ax$について次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)定数$k$が$0<k \leqq \sqrt{a}$の範囲にあるとき，$-k \leqq x \leqq 2k$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

$x>0$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)不等式$2 \sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{1-\log x}{x^2}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．

以下の問いに答えよ．

(1)$a>0$のとき，
\[ S(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin 2x-a \cos x| \, dx \]
とする．$S(a)$の最小値を求めよ．
(2)$a>2$のとき，$2$曲線$\displaystyle y=\sin 2x,\ y=a \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$y$軸で囲まれる図形を考える．この図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$a$を用いて表せ．

$a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ z$はすべて正の実数である．次の問いに答えよ．

(1)不等式$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを証明せよ．
(2)(1)において等号が成り立つのはどのようなときかを示せ．
(3)$a^2+b^2+c^2=25$，$x^2+y^2+z^2=36$，$ax+by+cz=30$のとき，$\displaystyle \frac{a+b+c}{x+y+z}$の値を求めよ．

円$x^2+y^2=1$を$C_1$とし，点$\mathrm{P}(0,\ -1)$を通り，傾きが$m$の直線を$\ell$とする．ただし，$m>1$である．次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$と直線$\ell$の交点のうち，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．さらに，点$\mathrm{Q}$における円$C_1$の接線の方程式を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$および(1)の点$\mathrm{Q}$の$3$点を通る円を$C_2$とする．$C_2$の方程式を求めよ．
(3)$m=\sqrt{3}$のとき，円$C_1$と(2)の円$C_2$の両方に接する直線の方程式を求めよ．