「不等号」について
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国立 佐賀大学 2016年 第4問複素数平面上の点$z$に対して
\[ w=\frac{3(1-i)z-2i}{z+3(1-i)} \]
で表される点$w$をとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)$w=z$となるような点$z$は$2$つある．これらを求めよ．
(2)$(1)$で求めた異なる$2$点を$\alpha,\ \beta$とする．ただし，$0 \leqq \arg{\alpha}<\arg{\beta}<2\pi$とする．$z$が$\alpha,\ \beta$と異なる点であるとき，
\[ \frac{w-\beta}{w-\alpha}=k \cdot \frac{z-\beta}{z-\alpha} \]
となるような定数$k$の値を求めよ．
(3)複素数$z_n$を
\[ z_1=0,\quad z_{n+1}=\frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．また，$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする．このとき，数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．さらに，数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の極限を求めよ．
\[ w=\frac{3(1-i)z-2i}{z+3(1-i)} \]
で表される点$w$をとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)$w=z$となるような点$z$は$2$つある．これらを求めよ．
(2)$(1)$で求めた異なる$2$点を$\alpha,\ \beta$とする．ただし，$0 \leqq \arg{\alpha}<\arg{\beta}<2\pi$とする．$z$が$\alpha,\ \beta$と異なる点であるとき，
\[ \frac{w-\beta}{w-\alpha}=k \cdot \frac{z-\beta}{z-\alpha} \]
となるような定数$k$の値を求めよ．
(3)複素数$z_n$を
\[ z_1=0,\quad z_{n+1}=\frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．また，$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする．このとき，数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．さらに，数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の極限を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第1問$n$を自然数，$0<a<b$とする．$n+2$個の正の実数
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．
(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．
(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問空間に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(b,\ c,\ 0)$，$\mathrm{C}(d,\ e,\ 4)$，$\mathrm{T}(d,\ e,\ t)$があり，このうちの$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が正四面体の頂点になっているとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$はいずれも正の実数で，$0<t<4$とする．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第3問$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(4)$t<1$のとき，$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と，線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(4)$t<1$のとき，$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と，線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第1問$a$を正の実数とする．
(1)平面上の点$(x,\ y)$は$x+y=a$，$x>0$，$y>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y \]
の最小値を求めよ．
(2)空間上の点$(x,\ y,\ z)$は$x+y+z=a$，$x>0$，$y>0$，$z>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y+z \log z \]
の最小値を求めよ．
(1)平面上の点$(x,\ y)$は$x+y=a$，$x>0$，$y>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y \]
の最小値を求めよ．
(2)空間上の点$(x,\ y,\ z)$は$x+y+z=a$，$x>0$，$y>0$，$z>0$の範囲を動くものとする．このとき，
\[ x \log x+y \log y+z \log z \]
の最小値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第1問$n$を自然数，$0<a<b$とする．$n+2$個の正の実数
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．
(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．
(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問空間に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(b,\ c,\ 0)$，$\mathrm{C}(d,\ e,\ 4)$，$\mathrm{T}(d,\ e,\ t)$があり，このうちの$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が正四面体の頂点になっているとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$はいずれも正の実数で，$0<t<4$とする．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第1問$n$を自然数，$0<a<b$とする．$n+2$個の正の実数
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．
(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．
(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第4問サイコロを何回か振って最後に出た目を得点とするゲームを行う．
(1)サイコロを$1$回だけ振ることができるときの得点の期待値$E_1$を求めよ．
(2)サイコロを$2$回まで振ることができるとき，$1$回目に$m$以上の目が出たらそこでやめ，$m$より小さい目が出たら$2$回目を振ることにする．このときの得点の期待値$E_2(m)$を$m$を用いて表し，$E_2(m)$が最大となる$m$を求めよ．
(3)$n$を$2$以上の自然数，$m_1,\ \cdots,\ m_{n-1}$を$6$以下の自然数とする．$n$回までサイコロを振ることができるとき，$i$回目に$m_{n-i}$以上の目が出たらそこでやめ，$m_{n-i}$より小さい目が出たら$i+1$回目を振るという規則でサイコロを振り続ける．ただし，$n$回サイコロを振ったらそこでやめる．このときの得点の期待値を$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$とする．以下の問いに答えよ．
(i) $E_3(m_1,\ m_2)$を$E_2(m_1)$，$m_2$を用いて表し，$E_3(m_1,\ m_2)$が最大となる$m_1,\ m_2$とそのときの$E_3(m_1,\ m_2)$の値を求めよ．
(ii) $n \geqq 4$とする．$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$の最大値を$e_{n-1}$とすると，$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$が最大となるのは，$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$が$e_{n-1}$となり，かつ$m_{n-1}$が$e_{n-1}$以上の最小の自然数となるときである．このことを示せ．
ただし，得点が$k$となる確率を$p(k)$としたとき，
\[ p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) \]
を得点の期待値とよぶ．
(1)サイコロを$1$回だけ振ることができるときの得点の期待値$E_1$を求めよ．
(2)サイコロを$2$回まで振ることができるとき，$1$回目に$m$以上の目が出たらそこでやめ，$m$より小さい目が出たら$2$回目を振ることにする．このときの得点の期待値$E_2(m)$を$m$を用いて表し，$E_2(m)$が最大となる$m$を求めよ．
(3)$n$を$2$以上の自然数，$m_1,\ \cdots,\ m_{n-1}$を$6$以下の自然数とする．$n$回までサイコロを振ることができるとき，$i$回目に$m_{n-i}$以上の目が出たらそこでやめ，$m_{n-i}$より小さい目が出たら$i+1$回目を振るという規則でサイコロを振り続ける．ただし，$n$回サイコロを振ったらそこでやめる．このときの得点の期待値を$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$とする．以下の問いに答えよ．
(i) $E_3(m_1,\ m_2)$を$E_2(m_1)$，$m_2$を用いて表し，$E_3(m_1,\ m_2)$が最大となる$m_1,\ m_2$とそのときの$E_3(m_1,\ m_2)$の値を求めよ．
(ii) $n \geqq 4$とする．$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$の最大値を$e_{n-1}$とすると，$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$が最大となるのは，$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$が$e_{n-1}$となり，かつ$m_{n-1}$が$e_{n-1}$以上の最小の自然数となるときである．このことを示せ．
ただし，得点が$k$となる確率を$p(k)$としたとき，
\[ p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) \]
を得点の期待値とよぶ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問空間に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(b,\ c,\ 0)$，$\mathrm{C}(d,\ e,\ 4)$，$\mathrm{T}(d,\ e,\ t)$があり，このうちの$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が正四面体の頂点になっているとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$はいずれも正の実数で，$0<t<4$とする．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．