$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上を動く点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$\mathrm{P}(x(t),\ y(t))$が
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x(t)=e^t \cos t \\
y(t)=e^t \sin t
\end{array} \right. \]
で与えられている．

(1)時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)=(x^\prime(t),\ y^\prime(t))$は，ある$2 \times 2$行列$A$によって
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime(t) \\
y^\prime(t)
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
と表すことができる．この行列$A$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$の各座標の時刻$t$による$n$次導関数を成分とするベクトルを$\overrightarrow{v_n}(t)=(x^{(n)}(t),\ y^{(n)}(t))$とおく．このとき，$n \geqq 1$に対し，
\[ \left( \begin{array}{c}
x^{(n)}(t) \\
y^{(n)}(t)
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
となることを，数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$\overrightarrow{v_{2013}}(\pi)$を求めよ．

曲線$C$は媒介変数$\displaystyle t \ \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$によって，$\displaystyle x=\sqrt{\cos t}\cos \frac{t}{2}$，$\displaystyle y=\sqrt{\cos t}\sin \frac{t}{2}$と表される．

(1)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$において，$\displaystyle \frac{dx}{dt}$および$\displaystyle \frac{dy}{dt}$を求めよ．
(2)$x,\ y$の$t$に関する増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)$を次のとおりに定める．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{1-x^2}} & (|x|<1 \text{のとき}) \\
0 & (|x| \geqq 1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -1+0}f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle K=\int_{-1}^1 f(t) \, dt$，$\displaystyle F(x)=\frac{1}{K} \int_{-1}^x f(t) \, dt$とする．このとき，$F(0)$を求めよ．
(3)関数$y=F(x)$の増減を調べ，グラフの概形をかけ．
(4)関数$y=F(x)-F(0)$が奇関数であることを示せ．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 F(x) \, dx$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\log x+\frac{1}{x}$と曲線$C:y=f(x) \ (x>0)$について，以下の問いに答えよ．なお，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x}=0$を用いてもよい．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$と不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$をそれぞれ求めよ．
(2)曲線$C$の変曲点を求めよ．
以下$a$は$1$より大きい実数とし，点$(a,\ f(a))$における$C$の接線を$\ell(a)$とする．
(3)接線$\ell(a)$の方程式を求めよ．また，$a \neq 2$のとき，曲線$C$と接線$\ell(a)$は$2$個の共有点（接点と交点）をもつことを示せ．
(4)$a=2$とする．曲線$C$，接線$\ell(2)$と$2$直線$x=1,\ x=4$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$|k|<1$または$k>1$を満たす実数$k$に対し，次の$2$次曲線$C(k)$を考える．
\[ C(k):\frac{x^2}{k+1}+\frac{y^2}{k-1}=1 \]
以下の問いに答えよ．

(1)点$(1,\ 1)$を通る曲線$C(k)$をすべて求めて，その概形をかけ．
(2)曲線$C(3)$が点$(a,\ b) \ (a>0,\ b>0)$を通るとき，$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求めよ．またこのとき，点$(a,\ b)$を通る曲線$C(k) \ (k \neq 3)$の方程式を，$b$を用いて表し，その焦点を求めよ．
(3)(2)の$2$つの曲線$C(3)$，$C(k)$について，点$(a,\ b)$における$C(3)$，$C(k)$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$のなす角度を求めよ．

さいころを$4$回投げて，$k$回目（$k=1,\ 2,\ 3,\ 4$）に出る目の数を$X_k$とする．$1$から$6$までの目は等確率で出るものとするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$j,\ k \ (j<k)$は数の集合$\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}$を動くものとする．$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$の中で，$X_j=X_k$となる組$\{j,\ k\}$が少なくとも$1$つ存在する事象を$A$，$X_j=X_k$となる組$\{j,\ k\}$がただ$1$つ存在する事象を$B$，同じ目がちょうど$3$つ出る事象を$C$とする．確率$P(A)$，$P(B)$，$P(C)$をそれぞれ求めよ．
(2)$A$が起こったときの和事象$B \cup C$の条件つき確率$P_A(B \cup C)$を求めよ．
(3)$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$の値を小さい順に並べ替えて，$X_{(1)} \leqq X_{(2)} \leqq X_{(3)} \leqq X_{(4)}$を定める．例えば，$X_1=3,\ X_2=2,\ X_3=6,\ X_4=2$の場合，$X_{(1)}=2,\ X_{(2)}=2,\ X_{(3)}=3,\ X_{(4)}=6$である．確率$P(X_{(1)}=4)$と$P(X_{(1)}=X_{(2)}=4)$をそれぞれ求めよ．

$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，次の不等式を解け．
\[ \sin 2x+\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}\cos x>\frac{3}{2} \]

$a>0$となる定数$a$に対して，関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-a^2x-\frac{2}{3}a^3$とする．次の問いに答えよ．

(1)$y=|f(x)|$のグラフの概形をかけ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$における関数$|f(x)|$の最大値を求めよ．

$2$曲線$C_1:x^2+y^2=1$と$\displaystyle C_2:y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)(x-\beta)$を考える．ただし，$\beta>3$とする．また，$C_1$上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$を通る$C_1$の接線$\ell$が$C_2$にも接しているとする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$C_2$の接点の座標および$\beta$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分を$S_1$とし，$C_2$と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分を$S_2$とする．このとき，$S_1$と$S_2$の面積をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)区間$-1<x<1$における
\[ f(x)=\log ((1-x)^{1-x}(1+x)^{1+x}) \]
の最小値を求めよ．ただし，対数は自然対数である．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$における
\[ g(x)=\cos x+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{3}\cos 3x \]
の最大値，最小値を求めよ．