座標平面上の$3$点
\[ \mathrm{P}(0,\ -\sqrt{2}),\quad \mathrm{Q}(0,\ \sqrt{2}),\quad \mathrm{A}(a,\ \sqrt{a^2+1}) \quad (0 \leqq a \leqq 1) \]
を考える．

(1)$2$つの線分の長さの差$\mathrm{PA}-\mathrm{AQ}$は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を端点とし$\mathrm{A}$を通る半直線と放物線$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{8}x^2$との交点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$y=2$へ下した垂線と直線$y=2$との交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，線分の長さの和
\[ \mathrm{PA}+\mathrm{AB}+\mathrm{BC} \]
は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．

$a,\ b$を実数の定数とする．実数$x,\ y$が
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad 2x+y \leqq 5 \]
をともに満たすとき，$z=x^2+y^2-2ax-2by$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)自然数$n$について$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$4$次方程式$x^4+ax^3+14x^2+16x+b=0$が$x=-2$を$2$重解としてもつとき，定数$a,\ b$の値と他の解を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$k$を正の定数とする．$2$つの曲線
\[ C_1:y=\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right),\quad C_2:y=k \tan x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の交点におけるそれぞれの曲線の接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．直線$\ell_1,\ \ell_2$がなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とするとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle k=\frac{3}{2}$のとき，曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

不等式$(x+y)(x-y+4) \geqq 0$の表す領域を$A$とし，不等式$y \geqq x^2+4x$の表す領域を$B$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)領域$A$を図示せよ．
(2)領域$A \cap B$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$A \cap B$を動くとき，$4x-y$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$と$y$の値もそれぞれ求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$がある．点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$を通り辺$\mathrm{AB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=p$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(3)$p \geqq 0$であるとき$\displaystyle \frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{OA}}$の値の範囲を求めよ．
(4)点$\mathrm{N}$が線分$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分するとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の長さを$1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=k$とする．このとき，辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$に関して，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ (0 \leqq s \leqq 1)$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ (0 \leqq s \leqq 1)$かつ$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$のとき，等式$9s^2-6ks+2k-1=0$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を満たす点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{OB}$上にただ$1$つ存在するような$k$の値の範囲を求めよ．ただし，点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{OB}$上に存在するとは，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{O}$または$\mathrm{B}$と一致する場合を含むものとする．