$p,\ r$を$-r<p<r$をみたす実数とする．$4$点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$，$\mathrm{Q}(r,\ p^2)$，$\mathrm{R}(r,\ r^2)$，$\mathrm{S}(p,\ r^2)$に対し，線分$\mathrm{PR}$の長さは$1$であるとする．このとき，長方形$\mathrm{PQRS}$の面積の最大値と，そのときの$\mathrm{P},\ \mathrm{R}$の$x$座標をそれぞれ求めよ．

$c$を$0<c<1$をみたす実数とする．$f(x)$を$2$次以下の多項式とし，曲線$y=f(x)$が$3$点$(0,\ 0)$，$(c,\ c^3-2c)$，$(1,\ -1)$を通るとする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と曲線$y=x^3-2x$で囲まれた部分の面積$S$を$c$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$S$を最小にするような$c$の値を求めよ．

$a,\ b,\ c$は実数とし，$a<b$とする．平面上の相異なる$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{C}(c,\ c^2)$が，辺$\mathrm{AB}$を斜辺とする直角三角形を作っているとする．次の問いに答えよ．

(1)$a$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)$b-a \geqq 2$が成り立つことを示せ．
(3)斜辺$\mathrm{AB}$の長さの最小値と，そのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．

赤色，緑色，青色のさいころが各$2$個ずつ，計$6$個ある．これらを同時にふるとき，

(1)赤色の$2$個のさいころの出た目の数$r_1,\ r_2$に対し$R=|r_1-r_2|$
(2)緑色の$2$個のさいころの出た目の数$g_1,\ g_2$に対し$G=|g_1-g_2|$
(3)青色の$2$個のさいころの出た目の数$b_1,\ b_2$に対し$B=|b_1-b_2|$

とする．次の問いに答えよ．

(4)$R$がとりうる値と，$R$がそれらの各値をとる確率をそれぞれ求めよ．
(5)$R \geqq 4,\ G \geqq 4,\ B \geqq 4$が同時に成り立つ確率を求めよ．
(6)$RGB \geqq 80$となる確率を求めよ．

$a>1$とし，$2$つの曲線
\[ \begin{array}{lll}
y=\sqrt{x} & & (x \geqq 0), \\
\displaystyle y=\frac{a^3}{x} & & (x>0)
\end{array} \]
を順に$C_1,\ C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$の交点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$と$y$軸および直線$\ell_1$で囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と直線$\ell_1$のなす角を$\theta(a)$とする$\displaystyle \left( 0<\theta(a)<\frac{\pi}{2} \right)$．このとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty}a \sin \theta(a)$を求めよ．

座標平面上で，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ x+2y \leqq 5,\quad 3x+y \leqq 8,\quad -2x-y \leqq 4,\quad -x-4y \leqq 7 \]
点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の値が最大となる点を$\mathrm{Q}$とし，最小となる点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$および点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$a>0$かつ$b>0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+by$が点$\mathrm{Q}$でのみ最大値をとり，点$\mathrm{R}$でのみ最小値をとるとする．このとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$の値の範囲を求めよ．

座標平面上の円$(x-1)^2+(y-1)^2=2$を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)直線$y=x-2$は円$C$に接することを示せ．また，接点の座標も求めよ．
(2)円$C$と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2-1$の共有点の座標をすべて求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{1}{4}x^2-1$の表す領域を$D$とする．また，不等式$|x|+|y| \leqq 2$の表す領域を$A$とし，不等式$(|x|-1)^2+(y-1)^2 \leqq 2$の表す領域を$B$とする．そして，和集合$A \cup B$，すなわち領域$A$と領域$B$を合わせた領域を$E$とする．このとき，領域$D$と領域$E$の共通部分$D \cap E$を図示し，さらに，その面積を求めよ．

直方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OD}=1$，$\mathrm{OC}=2$とし，辺$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OD}} \ (0 \leqq t \leqq 1)$とし，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{CM}$におろした垂線と線分$\mathrm{CM}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{CM}},\ \overrightarrow{\mathrm{PM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d},\ t$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{PH}}|^2$の最小値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする空間内の$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$を満たす平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$からなる領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{Q}$が領域$D$に含まれるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の円が領域$D$に含まれるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$が最小となる$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする空間内の$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$を満たす平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$からなる領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{Q}$が領域$D$に含まれるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$1 \leqq s+t \leqq 2$を満たす実数$s,\ t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{R}$からなる領域を$E$とする．このとき，領域$D$と$E$の共通部分の面積を求めよ．