$a$を実数とし，$a>1$とする．$3$個の関数を
\[ f(x)=-2x^2+2ax,\quad g(x)=-x^2+a^2,\quad h(x)=-2ax+2a^2 \]
とする．次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して，$f(x) \leqq g(x) \leqq h(x)$となることを示せ．
(2)連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq 1,\quad g(x) \leqq y \leqq h(x) \]
で表される領域の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
(3)連立不等式
\[ 1 \leqq x \leqq a,\quad f(x) \leqq y \leqq g(x) \]
で表される領域の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(4)$S(a)=S_1-S_2$の最大値を求めよ．

一辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{ABC}$と，その外接円$O$がある．弧$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$は，$\angle \mathrm{BCP}=\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たすように動く．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{PB}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$の最大値を求めよ．
(3)$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$は一定であることを示せ．
(4)$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} \cdot \mathrm{PC}$の最大値を求めよ．

関数$f(x)=\cos^2 x+\sqrt{3} \sin x \cos x$について，以下の問に答えなさい．

(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．

実数$t$を$0<t<1$とし，関数$f(x)=|x(x-t)|$に対して，以下の問に答えなさい．

(1)$a$を実数とする．$y=f(x)$のグラフを描き，直線$y=a$と$y=f(x)$の共有点の個数が$3$個になるときの$a$を$t$の式で表しなさい．また，このときの共有点の$x$座標を$t$の式で表しなさい．
(2)関数$\displaystyle g(t)=\int_0^1 |x(x-t)| \, dx$とするとき，$g(t)$を$t$の式で表しなさい．
(3)$g(t)$の最小値を求めなさい．

新しく購入した機械は，購入$1$年目から$1$年間隔で$4$回の定期検査を受けることになっている．検査で異常が見つかる確率は毎回同じで$p (0<p<1)$である．定期検査で異常が見つかった場合のみ修理が行われる．検査は無料であるが，修理は有料である．$1$年目の検査で異常が見つかった場合の修理費用は$80000$円であり，$r$年目（$r=2,\ 3,\ 4$）の検査で異常が見つかった場合の修理費用は
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である．以下の問に答えなさい．

(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする．$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい．
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す．$X$のとり得る値とその確率を表にし，$X$の期待値を$p$の式で表しなさい．
(3)$p=0.1$とする．購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと，修理費用は無料となる．$4$年間保証に加入することと，修理時に費用を支払うのとでは，どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい．

関数$f(x)=\cos^2 x+\sqrt{3} \sin x \cos x$について，以下の問に答えなさい．

(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．

次の$(1)$から$(8)$の$[　]$に適する答えを書きなさい．

(1)点$(2,\ 1)$から$3x-4y=5$までの距離は$[　]$である．
(2)サイコロを$3$回ふったとき出た目を$a,\ b,\ c$とすると，$(a-b)(b-c)(c-a)=0$となるときの確率は$[　]$である．
(3)数列$3,\ 5,\ 9,\ 17,\ 33,\ 65,\ \cdots$の第$n$項は$[　]$となる．
(4)正の実数$x,\ y$が$x+y-2=0$を満たすとき，$xy$の値の取り得る範囲は$[ア]<xy \leqq [イ]$となる．
(5)$2x^3-x^2-5x-2=0$を解くと，$x=[　],\ [　],\ [　]$となる．
(6)$\sqrt{11-\sqrt{96}}$の二重根号をはずし，簡単にすると$[　]$となる．
(7)$2 \sin^2 x-\cos 2x-\cos^2 x=\sin^2 x$を解くと，$x=[　],\ [　]$となる．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
(8)$\log_3 x-3 \log_x 9=-1$を解くと，$x=[　],\ [　]$となる．ただし，$x>0,\ x \neq 1$とする．

$\mathrm{AD}=t$（ただし，$t>0$），$\mathrm{BD}=\mathrm{CD}=1$，$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{CDA}={90}^\circ$である四面体$\mathrm{ABCD}$がある．次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{AMD}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)頂点$\mathrm{D}$から$\triangle \mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の長さを求めよ．

$3$つのサイコロを同時に投げ，出た目をそれぞれ$a,\ b,\ c$とし，$a-c$の値を$p$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a \geqq b \geqq c$とする．

(1)$p=0$となる確率を求めよ．
(2)$p=1$となる確率を求めよ．
(3)$y=px$，$y=0$，$x=2$の$3$つの直線で囲まれる図形の面積の期待値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)不等式$|3x-1|+|x-2| \geqq 11$を解きなさい．
(2)$x>0$のとき，次の式の最小値，および最小値を与える$x$の値を求めなさい．
\[ 3x+1+\frac{4}{3x+1} \]
(3)$x,\ y$を正の実数とする．このとき次の不等式が成り立つことを証明しなさい．
\[ (x+y+1) \left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1 \right) \geqq 9 \]