数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とし，$S_n$が次の式で与えられるとする．
\[ S_n=a_n+2n^2-n-1 \]
また，数列$\{b_n\}$は次の条件によって与えられるとする．
\[ b_1=-2,\quad b_{n+1}=2b_n+a_n \]
以下の問題に答えよ．

(1)$n$が$2$以上の自然数のとき，$S_{n-1}$を$n$の式で表せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$が$2$以上の自然数のとき，不等式$b_n>0$を証明せよ．
(5)数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$T_n$とする．$T_n$を$n$の式で表せ．

$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．以下の問題に答えよ．

(1)$\log_{10}9$の値を求めよ．
(2)${10}^{187} \leqq 9^k<10^{188}$を満たす整数$k$をすべて求めよ．
(3)$9^{104}$は何桁の整数か答えよ．
(4)$9^{104}$の一の位の数字を求めよ．
(5)$9^{104}$の最高位の数字を求めよ．

$2$つの曲線$C_1:f(x)=x^3-x$と$C_2:g(x)=x^3+x^2+ax$について考える．ただし，$a$は定数である．曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{1}{2},\ -\frac{3}{8})$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{B}(p,\ q)$において曲線$C_1$と直線$\ell$は交わっている．以下の問題に答えよ．

(1)曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ．
(2)直線$\ell$の方程式と$p,\ q$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)$の$\displaystyle p \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値と最小値を求めよ．
(4)関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^\prime(x)$を用いて表せ．また，このときの定数$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$a=1$のとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

コインを連続して投げる試行を考える．表が出た回は賞金が得られ，裏が出た回の賞金は$0$円とする．賞金は，$1$回目の試行で表なら$1$円，直前に裏が出て表が出たら$1$円である．裏が出た直後の試行または$1$回目の試行から数えて$n$回（$n \geqq 2$）続けて表が出ると，この$n$回目の表に対して$n$円得られるとする．たとえば，$5$回投げて表，表，裏，表，表の順に出た場合に（表，表，裏，表，表）と表記する．この場合には$1+2+0+1+2$の合計$6$円の賞金が得られる．以下の問題に答えよ．

(1)$2$回コインを投げ，$2$回とも表が出る確率を求めよ．
(2)$2$回コインを投げたとき，得られる賞金の期待値を求めよ．
(3)$5$回コインを投げて$3$回表が出たとする．得られる賞金が最も多いときと最も少ないときの賞金の差を求めよ．
(4)$5$回コインを投げたとき，得られる賞金が$4$円である確率を求めよ．
(5)$5$回コインを投げたとき，得られる賞金が$3$円以下である確率を求めよ．

$p,\ q$は自然数とする．$\alpha,\ \beta$は$\alpha>\beta$を満たす$2$次方程式$x^2-x-1=0$の解とする．$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を

$a_1=0,\quad b_1=1$
$a_{n+1}=(p+q)a_n+pb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_{n+1}=pa_n+qb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)$a_n>0 (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$かつ$b_n>0 (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$となることを示せ．
(2)$c_n=\alpha a_n+b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$，$d_n=-a_n+\alpha b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$c_n=(p \alpha+q)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$かつ$d_n=\alpha (p \beta+q)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3)$p \beta+q>0$のとき，$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}>\frac{a_n}{b_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．

区間$-1 \leqq x \leqq 1$で定義された連続関数$f(x)$を
\[ 12xf(x)+12 \int_0^x f(t) \, dt=15x^3 |x|-16x^3,\quad f(0)=0 \]
によって定める．曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(3)曲線$C$と直線$\ell:y=a$との区間$-1 \leqq x \leqq 1$における共有点の個数を，$a$の値によって分類せよ．
(4)曲線$C$と$3$直線$y=-1$，$x=-1$，$x=1$で囲まれる部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$0<t<1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる点を$\mathrm{C}$とし，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t \overrightarrow{b}$となる点を$\mathrm{D}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(1-t) \overrightarrow{a}$となる点を$\mathrm{E}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$3|\overrightarrow{a}|^2+6|\overrightarrow{b}|^2-9|\overrightarrow{c}|^2=2|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2$となることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$および$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$t$を用いて多項式で表し，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

$1$個のサイコロを$1$回投げるごとに，出た目によって，点$\mathrm{P}$が座標平面上を，次の規則に従って動くものとする．

最初は原点にあり，偶数が出た場合は$x$軸の正の方向に出た目の数だけ進み，奇数が出た場合は$y$軸の正の方向に出た目の数だけ進む．

点$\mathrm{P}$の到達点の座標を$(x_0,\ y_0)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)サイコロを$3$回投げたとき，$x_0=0$かつ$y_0=9$となる確率を求めよ．
(2)サイコロを$n$回投げたとき，$x_0=2n+2$かつ$y_0=0$となる確率を$n$を用いて表せ．
(3)サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$が$\displaystyle \frac{x_0}{2}<y_0<-\frac{{x_0}^3}{4}+8$の表す領域に存在する確率を求めよ．
(4)サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$が${x_0}^2+{y_0}^2-8x_0-2y_0+13>0$の表す領域に存在する確率を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$3x^2-5x+3=0$を解け．
(2)$x \leqq 2$のとき，$4 \cdot 2^{2x}-2^{x+2}+2$の最小値とそのときの$x$の値，最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

新しく購入した機械は，購入$1$年目から$1$年間隔で$4$回の定期検査を受けることになっている．検査で異常が見つかる確率は毎回同じで$p (0<p<1)$である．定期検査で異常が見つかった場合のみ修理が行われる．検査は無料であるが，修理は有料である．$1$年目の検査で異常が見つかった場合の修理費用は$80000$円であり，$r$年目（$r=2,\ 3,\ 4$）の検査で異常が見つかった場合の修理費用は
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である．以下の問に答えなさい．

(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする．$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい．
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す．$X$のとり得る値とその確率を表にし，$X$の期待値を$p$の式で表しなさい．
(3)$p=0.1$とする．購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと，修理費用は無料となる．$4$年間保証に加入することと，修理時に費用を支払うのとでは，どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい．