ある開区間$D$で与えられた関数$f(x)$は，$2$階微分可能で，第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は連続で，更に$f^{\prime\prime}(x)<0$と仮定する．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1<a_2<a_3$を満たす$D$の$a_1,\ a_2,\ a_3$に対して
\[ \frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}>\frac{f(a_3)-f(a_2)}{a_3-a_2} \]
を示せ．
(2)$x_1,\ x_2$を$D$の実数とする．$0 \leqq \alpha \leqq 1$を満たす$\alpha$に対して
\[ f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2) \geqq \alpha f(x_1)+(1-\alpha) f(x_2) \]
を示せ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_3$を$D$の実数とする．$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3 \geqq 0$及び$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=1$を満たす$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$に対して
\[ f(\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\alpha_3 x_3) \geqq \alpha_1 f(x_1)+\alpha_2 f(x_2)+\alpha_3 f(x_3) \]
を示せ．
(4)$D=(0,\ \infty)$とする．上の議論を用いて，$D$の$x_1,\ x_2,\ x_3$に対して不等式
\[ \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \geqq \sqrt[3]{x_1x_2x_3} \]
を示せ．

次の問いに答えよ．

(1)次の各問いに答えよ．

\mon[（ア）] $\displaystyle \frac{8}{9}<\frac{q}{p}<\frac{9}{10}$をみたす自然数$p,\ q$における$p$の最小値を記せ．

\mon[（イ）] $\displaystyle \frac{2013}{2014}<\frac{q}{p}<\frac{2014}{2015}$をみたす自然数$p,\ q$における$p$の最小値を記せ．

(2)自然数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc=1$をみたすとき，次の各問いに答えよ．

\mon[（ア）] 自然数$p,\ q$が$dq-cp>0$，$ap-bq>0$をみたすとき，$p$の最小値および$p$が最小となるような$q$の値をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
\mon[（イ）] $\displaystyle \frac{c}{d}<\frac{q}{p}<\frac{a}{b}$をみたす自然数$p,\ q$で$p$が最小となるような分数$\displaystyle \frac{q}{p}$を考えることにより，$a+c$，$b+d$が互いに素であることを示せ．
\mon[（ウ）] $A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\ a+d=10$のとき，$(A+A^{-1})^3$の値を求めよ．

円周上に等間隔に$n$個（$n \geqq 4$）の点が配置されている．これらの点から異なる$3$点を無作為に選び出し，それらを頂点とする三角形をつくる．次の問いに答えよ．

(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．

円周上に等間隔に$n$個（$n \geqq 4$）の点が配置されている．これらの点から異なる$3$点を無作為に選び出し，それらを頂点とする三角形をつくる．次の問いに答えよ．

(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．

$xy$平面において，曲線$y=nx^2$（$n$は自然数，$x \geqq 0$）を$C_n$とし，直線$y=1$を$L$とする．$2$つの曲線$C_n$，$C_{n+1}$および$L$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S_n$を求めよ．
(2)任意の$n$に対して$S_n>S_{n+1}$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k>\frac{1}{2}$となる最小の$n$を求めよ．

$xy$平面上に動点$\mathrm{P}(t,\ 2t)$，$\mathrm{Q}(t-1,\ 1-t)$がある．ただし，$0 \leqq t \leqq 1$とする．次の問いに答えよ．

(1)実数$k$に対して直線$x=k$と直線$\mathrm{PQ}$との交点を求めよ．
(2)閉区間$[-1,\ 1]$内の定数$a$に対し，直線$x=a$と線分$\mathrm{PQ}$との交点の$y$座標のとり得る範囲を$a$で表せ．
(3)$t$が$0$から$1$まで動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が動く領域$S$の面積を求めよ．
(4)$S$を$x$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積を求めよ．

円周上に等間隔に$n$個（$n \geqq 4$）の点が配置されている．これらの点から異なる$3$点を無作為に選び出し，それらを頂点とする三角形をつくる．次の問いに答えよ．

(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．

$x \geqq 0$で定義される関数$f(x)=xe^{\frac{x}{2}}$について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の第$1$次導関数を$f^\prime(x)$，第$2$次導関数を$f^{\prime\prime}(x)$とする．$f^\prime(2)$，$f^{\prime\prime}(2)$を求めよ．
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$，$g(x)$の第$1$次導関数を$g^\prime(x)$，第$2$次導関数を$g^{\prime\prime}(x)$とする．$g^\prime(2e)$，$g^{\prime\prime}(2e)$を求めよ．

以下の問いの空欄$[タ]$～$[ノ]$に適する数値，式を記せ．

(1)$i$を虚数単位として，等式$(2+i)(x-3yi)=1-i$を満たす実数$x$および$y$の値を求めると$x=[タ]$，$y=[チ]$となる．
(2)平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ -1)$と直線$x-2y-2=0$がある．この直線上に点$\mathrm{P}$をとるとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$([ツ],\ [テ])$となる．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$の条件で，関数$y=\cos 2\theta-4 \sin \theta$の最大値と最小値を求めると，$\theta=[ト]$のときに最大値$[ナ]$をとり，$\theta=[ニ]$のときに最小値$[ヌ]$をとる．
(4)不等式$9^x \leqq 6+3^x$の解は$[ネ]$である．
(5)$3$つの数$x-3,\ x+1,\ x+6$がこの順で等比数列となるとき，$x$の値を求めると$x=[ノ]$となる．

$\displaystyle S_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．以下の問いに答えよ．

(1)$x \neq -1$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x+1}=\sum_{k=0}^{n-1} (-x)^k+\frac{(-x)^n}{x+1}$が成立することを証明せよ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$のとき，不等式$\displaystyle -\frac{1}{n+1} \leqq \int_0^1 \frac{(-x)^n}{x+1} \, dx \leqq \frac{1}{n+1}$が成立することを証明せよ．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{n-1} \int_0^1 (-x)^k \, dx$が成立することを証明せよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．