$t$は$0<t<1$を満たす実数とし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で$3$つの曲線$C_1:y=\sin x$，$C_2:y=\cos x$，$C_3:y=t \cos x$を考える．

(1)$y$軸と$C_1$，$C_3$で囲まれる部分の面積$S_1$を$t$で表せ．
(2)$C_1$，$C_2$，$C_3$で囲まれる部分の面積を$S_2$とおく．$S_1=S_2$となる$t$とそのときの$S_1$の値を求めよ．

関数$f(x)=\cos^3 x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減表をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \sin x \, dx$を求めよ．

一般項が$a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$で定義される数列$\{a_n\}$について，次の問に答えなさい．

(1)すべての自然数$n$に対して$a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle a_n<\frac{1}{10}$となる$n$の最小値を求めなさい．

関数$f(x)=ax^2+bx+c (a>0)$で定まる放物線$C:y=f(x)$と，$C$に$x=\alpha$で接する接線$\ell$，および，直線$x=\beta (\alpha<\beta)$とで囲まれた領域の面積を$S$とする．このとき，$S$を$\alpha$と$\beta$を用いて表しなさい．

互いに異なる$2$つの正の実数$a,\ b$をそれぞれ底とする$2$つの対数関数を考え，これらのグラフ$C_a:y=\log_ax$，および，$C_b:y=\log_bx$を図に示した．また，図中の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$はそれぞれ，直線$x=t (t>0,\ t \neq 1)$と$C_a$，$C_b$，および$x$軸との交点である．$t=a$のとき，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}=3:2$であった．次の問に答えなさい．
（図は省略）

(1)$a,\ b,\ 1$それぞれの間に成り立つ大小関係を調べなさい．
(2)条件$t \neq 1$，$t>0$を満たす任意の実数$t$に対して定まる$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$について，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}$を求めなさい．
(3)図中の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は各々$C_a$，$C_b$上の点であり，各々の$y$座標は互いに等しく，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$8$である．このとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標$u$の値を求めなさい．

三辺の長さ$x,\ y,\ z$がすべて自然数であり，$x+y+z=100$，$1 \leqq x \leqq y \leqq z$を満たす三角形について考える．ただし，合同な三角形は同一視して考える．次の問に答えなさい．

(1)最大辺の長さ$z$の取り得る値の範囲を求めなさい．
(2)与えられた条件を満たす三角形のうち，最大辺の長さが$45$の三角形は何個あるか．
(3)与えられた条件を満たす三角形は全部で何個あるか．

$1$から$5$までの$5$つの自然数のうち，いずれかの$1$つの数字が確率的に表示される$3$つの装置$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．各装置$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$で数字$n (1 \leqq n \leqq 5)$が表示される確率をそれぞれ$P_{\mathrm{A}}(n)$，$P_{\mathrm{B}}(n)$，$P_{\mathrm{C}}(n)$とし，
\[ \sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{A}}(n)=\sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{B}}(n)=\sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{C}}(n)=1 \]
が成り立っている．$a,\ b,\ c,\ k$を実数とし，$f(n)={2}^{{-(n-3)}^2}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$P_{\mathrm{A}}(n)=a \cdot f(n)$であるとき，装置$\mathrm{A}$で各数字が表示される確率と，表示される数字の期待値を求めよ．
(2)$P_{\mathrm{B}}(n)={2}^{-2n+5} \cdot b \cdot f(n)$であるとき，装置$\mathrm{B}$と$(1)$で確率を求めた装置$\mathrm{A}$の表示が，両方とも偶数である確率を求めよ．
(3)$P_{\mathrm{C}}(n)={2}^{-{n}^2+kn} \cdot c \cdot f(n)$であり，$(1)$の$P_{\mathrm{A}}(n)$が最大となるときの$n$を$m$とする．このとき，$P_{\mathrm{C}}(n)$が最大となる$n$と$m$が等しくなる$k$の範囲を求めよ．

$1$辺の長さが$a_1$の正五角形を$\mathrm{P}_1$とする．$\mathrm{P}_1$の対角線を$1$辺とする正五角形を$\mathrm{P}_2$とし，$\mathrm{P}_2$の対角線を$1$辺とする正五角形を$\mathrm{P}_3$とする．このように対角線から次の正五角形を繰り返してつくるものとする．このとき，$n>1$における$\mathrm{P}_n$の$1$辺の長さを$a_n$とし，以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を$a_1$と$n$を用いて表せ．
(2)整数の数列$\{x_n\}$と$\{y_n\}$を用いて
\[ a_n=\frac{x_n+\sqrt{5}y_n}{2} \]
と書けるとする．このとき，$x_{n+2}$を$x_n$と$x_{n+1}$を用いて表せ．

関数$\displaystyle y=-2 \sin \theta \cos \theta+2a(\sin \theta+\cos \theta)-a \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$t=\sin \theta+\cos \theta$とおいて，$y$を$t$の関数で表せ．
(2)$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$y$の最大値$M(a)$を求めよ．
(4)$M(a)$の最小値を求めよ．

異なる$n$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n$の中から重複を許して$2$個の整数を選び，すべての組合せについて，$2$数の和および積をたし合わせたものをそれぞれ$S(n)$，$T(n)$とする．$n \geqq 2$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$S(3)$，$T(3)$を求めよ．
(2)$S(n)$，$T(n)$を$n$の式で表せ．