大小二つのさいころを同時にふって，出た目の値をそれぞれ$a,\ b$とする．領域
\[ y \geqq -\frac{x}{2}+a \quad \text{かつ} \quad (x-b)^2+(y-b)^2 \leqq b^2 \]
の面積を$S$とする．ただし，空集合の面積は$0$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle S=\frac{\pi b^2}{2}$となる確率$p_1$を求めなさい．
(2)$S=0$となる確率$p_2$を求めなさい．

空間内の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$について，どの$3$点も同一直線上にはないとする．また，正の実数$a,\ b$は$\sqrt{2}a<b<2a$を満たすとし，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=a$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=b$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$は鈍角三角形であることを示しなさい．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上（ただし，端点を除く）にそれぞれ点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$があり，三角形$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$は正三角形であるとする．このとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は平行であることを示しなさい．

次の問いに答えよ．

(1)体積が$V$，表面積が$S$，底面の半径が$r$の円柱を考える．

(i) $S$を$V$と$r$で表せ．
(ii) $V$の値を一定にするとき，$S$の最小値とそれを与える$r$の値を求めよ．

(2)$x>0$のとき$\displaystyle \log (1+x)>x-\frac{x^2}{2}$であることを示せ．

$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+1} t \cdot |t| \, dt$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(0)$と$f(-1)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)座標平面において曲線$y=f(x)$と直線$y=f(-1)$で囲まれる部分のうち，$-2 \leqq x \leqq -1$の範囲の面積を$S_1$，$-1 \leqq x \leqq 0$の範囲の面積を$S_2$，$0 \leqq x \leqq 1$の範囲の面積を$S_3$とする．$S_1$，$S_2$，$S_3$を求めよ．

$a,\ b$を定数とし，$2$次の正方行列$A,\ X,\ Y$は
\[ A=aX+bY,\quad X+Y=E,\quad XY=O \]
をみたすとする．ここで，$E$と$O$はそれぞれ$2$次の単位行列と零行列を表す．このとき，$X+Y=E$の両辺に左から$X$を掛けると$X^2=X$が成り立つことがわかる．

(1)$Y^2=Y,\ YX=O$が成り立つことを示せ．
(2)$A$が$E$の定数倍ではないとき，$A-aE$と$A-bE$はともに逆行列をもたないことを示せ．
(3)$A=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
6 & 3
\end{array} \right)$のとき，$a,\ b (a<b)$および$X,\ Y$を求めよ．

$a$は正の定数とし，曲線$C_1:y=ax^2 (0 \leqq x \leqq 1)$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{a}(x-1)^2 (0 \leqq x \leqq 1)$および$x$軸で囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$S(a)$を求めよ．
(3)$a$がすべての正の実数を動くとき，$S(a)$の最大値とそれを与える$a$の値を求めよ．

定数$c$は$1<c<\sqrt{2}$をみたすとし，$0 \leqq x<1$で定義された$2$つの関数
\[ f(x)=x+\sqrt{1-x^2},\quad g(x)=cf(x)-x \sqrt{1-x^2} \]
を考える．$g(x)$の導関数を$g^\prime(x)$と表す．

(1)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらを与える$x$の値も求めよ．
(2)$g^\prime(x)=h(x)(c-f(x))$をみたす関数$h(x)$を求めよ．
(3)$g(x)$の最大値を求めよ．ただし，最大値を与える$x$の値を求める必要はない．

座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 7)$，$\mathrm{C}(4,\ 4,\ 5)$がある．また，$s,\ t$は実数であるとして，点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 4)$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上にあるための$s,\ t$の関係式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上にあるときの$s,\ t$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上を動くとき，その軌跡により三角形$\mathrm{ABC}$は二つの部分に分けられる．この二つの部分の面積の比の値$r$を求めよ．ただし，$r \geqq 1$とする．

$x \geqq 0$で定義された関数
\[ f_n(x)=x^a-x^{a+\frac{1}{n}} \]
を考える．ただし，$a$は正の実数とし，$n$は自然数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)区間$[0,\ 1]$において，$f_n(x)$の最大値を与える$x$の値を$x_n$とおく．$x_n$を求めよ．
(2)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$を求めよ．

$0<x \leqq 2\pi$において定義された関数$\displaystyle h(x)=\frac{\sin x}{x}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$h(x)$の最小値を与える$x$がただ一つ存在することを示せ．
(2)$h(x)$の最小値を与える$x$の値を$b$とおく．次の定積分を求めよ．
\[ \int_\pi^b x^2h(x) \, dx \]
(3)$b$は$\displaystyle \frac{17}{12} \pi<b<\frac{3}{2} \pi$をみたすことを示せ．