次の設問に答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$について$\sin B$を$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．

\begin{zahyou*}[ul=1.8mm](-20,20)(-5,20)%
\tenretu*{A(10,14);B(-15,0);C(15,0)}%
{\thicklines
\Drawline{\A\B\C\A}%
}
\Kakukigou\B\A\C{}%
\Kakukigou\C\B\A<Hankei=6mm>{}%
\Kakukigou\A\C\B{}%
\emathPut{(9,15.5)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-18,-1)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(17,-1)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(7.5,9)}{$A$}
\emathPut{(-9.5,0.7)}{$B$}
\emathPut{(9.5,0.7)}{$C$}
\emathPut{(0,-3)}{$a$}
\emathPut{(14.5,8)}{$b$}
\emathPut{(-5.5,8)}{$c$}
\end{zahyou*}

(2)下図のように半径$R$の円に外接する正三角形を$\triangle \mathrm{ABC}$とし，内接する正三角形を$\triangle \mathrm{DEF}$とします．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$で囲まれた図形（図中の斜線部分）の面積を求めなさい．

\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](-20,20)(-10,25)%
\tenretu*{O(0,0);A(0,20);B(-17.32,-10);C(17.32,-10);D(0,10);E(-8.66,-5);F(8.66,-5)}%
{\thicklines
\emPaint*{\A\B\C}
\Nuritubusi[0]{\D\E\F\D}%
\En\O{10}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\D\E\F\D}%
}
\emathPut{(-0.8,21)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-20.8,-11)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(19,-11)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(-0.8,5.5)}{$\mathrm{D}$}
\emathPut{(-6.2,-4)}{$\mathrm{E}$}
\emathPut{(4.5,-4)}{$\mathrm{F}$}
\end{zahyou*}

$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+2ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．重解の場合は$\alpha=\beta$と考える．次の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$が実数で，$|\alpha| \leqq 1$，$|\beta| \leqq 1$をみたすとき，点$(a,\ b)$の存在範囲を図示せよ．
(2)$\alpha$は虚数とし，$\alpha=p+qi$とおく．ただし，$p,\ q$は実数であり，$i$は虚数単位である．$p,\ q$が$p^2+q^2 \leqq 1$をみたすとき，点$(a,\ b)$の存在範囲を図示せよ．

座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ t,\ -1)$，$\mathrm{D}(u,\ 2,\ 1)$がある．ただし，$t,\ u$は実数であり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は垂直であるとする．次の問いに答えよ．

(1)$t$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$のうち$p>0$となるものを求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が同一平面に含まれるならば$u=4$であることを示せ．
(4)$u=3$のとき四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

図のような三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$が中心$\mathrm{O}$，半径$1$の球に内接している．すなわち，三角柱の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$はすべて，中心$\mathrm{O}$，半径$1$の球面上にある．また，三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$は合同な正三角形で，四角形$\mathrm{ADEB}$，四角形$\mathrm{BEFC}$，四角形$\mathrm{CFDA}$は合同な長方形であるとする．$\angle \mathrm{AOD}=2 \alpha$，$\angle \mathrm{AOB}=2 \beta$とおく．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{3}$とする．次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ．
(2)三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．

$3$個のさいころを同時に投げて得点を得るゲームをおこなう．$3$個のさいころのうち，最も大きな目が出たさいころを$1$個だけ，最も小さな目が出たさいころを$1$個だけ，それぞれ取り除き，残った$1$個のさいころの目を$C$とする．とくに，$3$個のさいころの目が一致するときは，その目が$C$である．$C \geqq 4$ならば得点を$C$とし，$C \leqq 3$ならば得点を$0$とする．次の問いに答えよ．

(1)得点が$6$となる確率を求めよ．
(2)得点が$5$となる確率を求めよ．
(3)得点が$4$となる確率を求めよ．
(4)得点の期待値を求めよ．

座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ t,\ 1-t)$，$\mathrm{C}(0,\ s,\ -1)$，$\mathrm{D}(3,\ 2,\ 1)$がある．ただし，$t$と$s$は実数で$t>-1$をみたし，また$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は垂直であるとする．次の問いに答えよ．

(1)$s$を$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$のうち$p>0$となるものを$t$を用いて表せ．
(3)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が同一平面に含まれるための必要十分条件は，$\displaystyle t=-\frac{1}{3}$または$t=1$であることを証明せよ．

$a>0$，$b>0$とし，座標平面上の楕円$\displaystyle K:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上の$2$点
\[ \mathrm{A}(a \cos \theta,\ b \sin \theta),\qquad \mathrm{B} \left( a \cos \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right),\ b \sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right) \right) \]
のそれぞれにおける$K$の接線を$\ell$，$m$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{C}(c,\ d)$とし，さらに$2$点$\displaystyle \mathrm{D} \left( a \cos \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right),\ 0 \right)$，$\mathrm{E}(c,\ 0)$をとる．台形$\mathrm{CBDE}$の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$c$および$d$を$a,\ b,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ b,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くときの$S$の最大値，および，$S$が最大値をとるときの$m$の傾きを$a,\ b$を用いて表せ．

$f(x)=xe^{-x}$，$t>1$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)曲線$y=f(x)$と直線$\displaystyle y=\frac{x}{t}$のすべての交点の座標を求めなさい．
(2)$(1)$のような$y=f(x)$と$\displaystyle y=\frac{x}{t}$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めなさい．
(3)$t$が$1$より大きい実数全体を動くとき，関数$\displaystyle g(t)=\frac{t}{\log t}(1-S(t))$の最小値を求めなさい．

$xy$平面において，$x$軸の正の部分に中心$\mathrm{A}$をもつ半径$1$の円$C$が，直線$\displaystyle y=x \tan t (0<t<\frac{\pi}{2})$に点$\mathrm{P}$で接している．以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めなさい．
(2)$x$軸の正の部分と円$C$と直線$y=x \tan t$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに回転した立体の体積$V(t)$を求めなさい．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{t \to +0}tV(t)$を求めなさい．

$f(x)=x(x-2)-6 |x|$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$の最小値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(t,\ f(t)) (t>0)$を通る接線が曲線$y=f(x)$の$x<0$の部分と点$\mathrm{B}$で接しているとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標と接線の方程式を求めなさい．
(3)$(2)$において曲線$y=f(x)$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積を求めなさい．