$x,\ y$を実数とするとき，命題「$x+y=-5 \Rightarrow x<0$または$y<0$」について以下の問いに答えよ．

(1)この命題の真偽を答えよ．また，真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)この命題の逆を示し，その真偽について真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．

$(1)$～$(5)$の空欄にあてはまる言葉を，次の$1$～$4$から選べ．

\mon[$1$] 必要条件であるが，十分条件ではない．
\mon[$2$] 十分条件であるが，必要条件ではない．
\mon[$3$] 必要十分条件である．
\mon[$4$] 必要条件でも十分条件でもない．


(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が等しいことは，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$が相似であるための$[ア]$
(2)整数$a,\ b$がともに奇数であることは，$ab$が奇数であるための$[イ]$
(3)$A \cap B \neq \phi$である集合$A,\ B$について，$x \in \overline{\overline{A} \cap \overline{B}}$であることは，$x \in A \cap B$であるための$[ウ]$
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}>0$であることは，$\triangle \mathrm{ABC}$が鋭角三角形であるための$[エ]$
(5)$|x|+|y| \leqq 1$は，$|x+y| \leqq 1$であるための$[オ]$

$a>0$とする．関数$f(x)$を
\[ f(x)=(x-1)(x^2-2x-3ax+2a+2a^2) \]
とし，$y=f(x)$で表される曲線を$C$とする．$C$は$x$軸と$3$つの異なる交点を持ち，その中の$1$つを点$\mathrm{P}(1,\ 0)$とし，残り$2$つを$x$座標の小さい方から点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の間にあるとき，以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の範囲を求めよ．また，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る放物線$D$を$y=g(x)$とする．$D$の点$\mathrm{P}$における接線が$(1)$で求めた$\ell$と一致するとき，$g(x)$を$a$を用いて表せ．さらに，定積分
\[ I=\int_0^1 g(x) \, dx \]
の値を$a$を用いて表せ．

$a$は定数とする．
\[ y=-(x^2+2x)^2+2a(x^2+2x)-a^2+4 \]
のとき以下の問いに答えなさい．

(1)$t=x^2+2x$とすると，$t$の取り得る値の範囲は$t \geqq [ア]$である．
(2)$a=1$の場合を考えると，$y$の最大値は$[イ]$で，そのときの$x$の値は$[ウ]$である．
(3)$y$の最大値は，$a \geqq -1$のとき$[エ]$であり，$a<-1$のとき$[オ]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)$1$次関数$f(x)$のグラフは点$(2,\ 0)$を通る．また$f(x)$は$\displaystyle f(x)=2x+\int_0^k f(t) \, dt$をみたす．このとき，$k$の値を求めなさい．

(2)$a>0$とする．$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx=0$となるとき，$a$の値を求めなさい．

(3)$b>0$とする．$\displaystyle 3 \int_0^b |f(x)| \, dx=5 \int_0^b f(x) \, dx$が成り立つとき，$b$の値を求めなさい．

$t$の関数$f(t)$を
\[ f(t)=-\frac{1}{2}(\log_2 t)^3+21(\log_4 t)^2-9 \log_4 t^2+1 \]
とおく．このとき以下の問いに答えなさい．

(1)$x=\log_2 t$とおくとき，
\[ f(t)=-\frac{[ア]}{[イ]}x^3+\frac{[ウエ]}{[オ]}x^2-[カ]x+1 \]
である．
(2)変数$t$が$1 \leqq t \leqq 256$の範囲を動くとき，$f(t)$は$t=[キク]$のとき最大値$[ケコ]$をとり，$t=[サ]$のとき最小値$\displaystyle -\frac{[シス]}{[セ]}$をとる．

不等式
\[ n^2+n+1 \leqq 3 |n+1| \]
を満たす整数$n$をすべて求めよ．

スイッチを入れたとき点灯しない確率が$p$である電灯がある．この電灯が，部屋$A$には$2$つ，部屋$B$には$3$つ，部屋$C$には$4$つ設置されていて，どの部屋も，半分以上の電灯が点灯すれば使用でき，半分未満では使用できない．部屋$A,\ B,\ C$が使用できない確率を，それぞれ$p_A,\ p_B,\ p_C$とする．

(1)$p_B$を$p$を用いて表せ．
(2)$p_A>p_C$となる$p$の範囲を求めよ．

座標平面上に，始点が原点で終点の$y$座標が$1$に等しい$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$がある．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度を$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とするとき，等式
\[ \sin \theta =\frac{|\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}}{|\overrightarrow{a|} |\overrightarrow{b|}} \]
が成り立つことを示せ．

$a>0$に対して$2$次方程式$ax^2+bx+c=0$は$2$つの異なる実数解$\alpha,\ \beta$（ただし$\alpha>\beta$）を持つという．このとき次の$5$つの式を係数$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．

(1)$\alpha+\beta$
(2)$\alpha \beta$
(3)$\alpha^2+\beta^2$
(4)$\alpha^2-\beta^2$
(5)$\alpha^3+\beta^3$